Примеры экзаменационных задач.

1. Пусть X, Y – два множества, состоящие из n и m элементов соответственно. Какова мощность множества всех тотальных функций, определенных на X, со значением в Y?

Решение.

Чтобы задать любую тотальную функцию нужно выполнить n действий: указать образ каждого элемента множества X, но каждое действие можно выполнить m способами  число функций равно mⁿ.

2. Доказать, что , f : XY, A, B  X.

Доказательство.

Пусть или или .

Пусть или

.

3. Доказать, что , y = f(x), A, B  Y, – не обязательно функция.

Доказательство.

1. Пусть и и .

2. Пусть и и .

3. 

Лекция 9. Композиция функций.

Т.к. всякая функция – это бинарное отношение, то мы можем строить композицию функций, как композицию бинарных отношений. Если

f: X Z , то z = f(x). Если g: Z Y, то y = g(z), тогда fg: X Y .

Композиция функций fg = {(x, y)| xX, yY, (zZ): (x, z) f и

(z, y) g} = {(x, y)| (z): z = f(x) и y = g(z)} = {(x, y)| y = g(f(x))}.

Композиция функций – это не просто бинарное отношение, это снова функция. Действительно, если элемент х задан, то z = f(x) определяется однозначно, тогда y = g(z) тоже определяется однозначно.

Пример.

F(x) = 2x + 1, g(x) =

f g(x) = g(f(x)) =,

gf(x) = f(g(x)) = 2+1,.

Из примера видно, что композиция некоммутативна:

f g(x) ≠ gf(x), зато ассоциативна: (f g)h = f (gh).

Предполагается, что области определения и значений функций f, g, h согласованы так, что композицию можно определить:

(f g)h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x)))

f(gh)(x)= (gh)(f(x)) = h(g(f(x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций, и та единственная функция, которая получается в результате композиции функций f₁, f₂, f₃, … , f_n в указанном порядке, так и обозначается:

f₁ f₂ f₃ … f_n.

Пример.

F₁ = x², f₂ = sin(x), f₃ = x³ – 1

f₁ f₂ f₃ = (sin(x²))³ – 1,

f₁ f₃ f₂ = sin(x⁶ – 1),

f₂ f₁ f₃ = sin⁶(x) – 1,

f₂ f₃ f₁ = (sin³(x)-1)²,

f₃ f₁ f₂ = sin(x³ – 1)²,

f₃ f₂ f₁ = sin²(x³ – 1).

Пусть теперь функции f и g взаимнооднозначны. Если z = f(x), то

– взаимнооднозначная функция. Если y = g(z), то z = g^-1(y) – взаимнооднозначная функция. Выясним, какими свойствами обладает композиция взаимнооднозначных функций.

Теорема.

Композиция взаимнооднозначных функций – взаимнооднозначная функция, при этом (fg)^-1 = g ^-1f ^-1.

Доказательство.

1. Пусть. Тогда g(f(x₁)) = g(f(x₂)) = y. В силу взаимной однозначности функции g: f(x₁) = f(x₂). В силу взаимной однозначности функции f: x₁ = x₂.

2. Пусть .

Пусть g ^-1f ^-1(y) = , тогда

Отсюда в силу условия взаимной однозначности функций и .

Таким образом, функции и отображают элемент y в один и тот же элемент, т.е. представляют собой одну и ту же функцию.

Ядро функции).

Определяется обычным образом: Ker f = ff ^-1  XX (f: XY, f ^-1: YX).

Найдем сначала ядро взаимнооднозначной функции f:

f f ^-1(x) = f ^-1(f(x)) = f ^-1(y) = x, f ^-1f(y) = f(f ^-1(y)) = f(x) = y. Таким образом ядро взаимнооднозначной функции – тождественное отображение области определения функции на нее же.

f f ^-1 = Ix, f ^-1f = Iy.

В общем случае f ^-1 уже не функция, а просто бинарное отношение, и тогда справедлива следующая теорема.

Теорема.

Ядро функции является отношением эквивалентности на области определения функции.

Чтобы доказать эту теорему выясним какие упорядоченные пары принадлежат ядру функции f.

Пусть и и . Если пара (x₁, x₂) принадлежит ядру, то у этой пары один и тот же образ. Пусть f(x₁) = f(x₂) = y  (x₁, y)f и (x₂, y)f (x₁, y)f и (y, x₂)f ^-1  (x₁, x₂) f f ^-1.

Таким образом: (x₁, x₂) f f ^-1  f(x₁) = f(x₂).

Доказательство.

1. Рефлексивность: f(x) = f(x)  (x, x)Ker f;

2. Симметричность: Если f(x₁) = f(x₂), то f(x₂) = f(x₁). Значит, ((x₁, x₂)Ker f  (x₂, x₁) Ker f);

3. Транзитивность: Если f(x₁) = f(x₂), f(x₂) = f(x₃), то f(x₁) = f(x₃); (x₁, x₂)Ker f и (x₂, x₃) Ker f  (x₁, x₃)Ker f.

Теорема доказана.

Всякое отношение эквивалентности определяет разбиение множества, на котором оно задано, на непересекающиеся непустые классы эквивалентности. В случае ядра функции, класс эквивалентности состоит из всех элементов области определения имеющих один и тот же образ.

Пример1.

Y = x²

(1, 1)Ker y, (1, -1)Ker y, (8, -8)Ker y, (0, 0)Ker y, (8, 2)Ker y.

Класс эквивалентности – это множество элементов [x] = {a| a² = x²}

Например, [2]_{Ker y} = {2; -2}, [0]_{Ker y} = {0}.

Фактормножество области определения X функции f по ядру ker f обозначим через . Область значений функции f обозначим через (от англ. Image  образ). Из сказанного следует, что соответствие по правилу  это тотальная биекция.

Пример2 (теорема о гомоморфизме).

Определение. Группой называется произвольное множество, на элементах которого определена функция , которая называется «групповой операцией» или «умножением», обозначается и обладает следующими свойствами.

1. Ассоциативность. .

2. Существование единицы. . Элемент называется единицей группы .

3. Существование обратного элемента.

. Элемент называется обратным элементу .

Пусть две группы. Тотальная функция называется гомоморфизмом (от гр. morphē  форма и гр. homos  равный, одинаковый; в сложных словах означает сходство, единство), если она сохраняет групповую операцию: . Множество

Утверждение 1. Область значений гомоморфизма множество  это группа, подгруппа , с той же самой групповой операцией.

Доказательство.

Пусть

. Множество замкнуто относительно групповой операции, заданной в группе , поэтому доказывать ассоциативность операции не нужно.

Покажем, что , где единица группы ,  это единица множества . Действительно, и .

Покажем, что это элемент, обратный элементу . В самом деле: и

= . Утверждение доказано.

Ядро гомомормизма , как ядро всякой функции, определяет разбиение группы , области определения функции , на непустые непересекающиеся классы эквивалентности. Каждый класс эквивалентности состоит из тех и только тех аргументов, которые имеют один и тот же образ.

Утверждение 2. Множество классов эквивалентности (фактормножество ) это  группа, если положить, что для всяких .

Доказательство. Пусть и . Тогда

, поэтому групповая операция определена корректно.

Докажем ассоциативность групповой операции:

, так как умножение в группе ассоциативно.

Докажем, что класс  единица множества .

.

Докажем, что класс обратен классу .

.

Утверждение доказано

Ранее было показано, что всякое соответствие вида по правилу является тотальной биекцией. Покажем, что если  гомоморфизм, то соответствие  тоже гомоморфизм.

, что и требовалось.

Гомоморфизм, который одновременно есть биекция, называется изоморфизмом (от гр. isos  равный, одинаковый, подобный). Группы, между которыми установлено изоморфное соответствие, называются изоморфными. Таким образом, нами доказана следующая теорема об изоморфизме. Факторгруппа по ядру произвольного гомоморфизма изоморфна группе образов этого гомоморфизма.