Ядро бинарного отношения.

Пусть  произвольное бинарное отношение из A в B.

Ядром бинарного отношения называется композиция .

Рассмотрим два примера:

Пример 1.

Пусть A = B = {1, 2, 3, 4};

= {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, тогда

^-1 = {(1, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)};

= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.

Этот пример показывает, что ядро не обязано быть

- рефлексивным ((4, 4) в него не входит);

- транзитивным ((1, 3) не входит, а (1, 2), (2, 3) входят);

- полным ((1, 3), (3, 1) не входят).

Свойства ядра:

1. Любое ядро – симметричное бинарное отношение.

Доказательство.

и и

2. Пусть

Значит, любое ядро содержит все пары вида (a, a), где a – каждый первый элемент пар бинарного отношения . Следовательно, ядро не может быть пустым, если только .

3. Если и , то . Обратно, если , то и .

Пример 2.

Пусть M – произвольное конечное множество, 2^M  его булеан; рассмотрим прямое произведение 2^M, где

Рассмотрим отношение , следовательно

,тогда . Такое ядро, содержит упорядоченные пары множеств одинаковой мощности, оно называется отношением равномощности.

Лекция 8. Отношения эквивалентности.

Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Обычно отношение эквивалентности обозначается знаком . Примеры отношения эквивалентности:

1. Отношение параллельности на множестве прямых евклидовой плоскости;

2. Отношение равенства на множестве рациональных дробей:

, v, q ≠ 0, uq = vp;

3. Отношение сравнимости на N;

4. Отношение обучения в одной группе на множестве студентов СибАДИ.

Классы эквивалентности.

Пусть на множестве А задано отношение эквивалентности и x – произвольный элемент множества А. Классом эквивалентности элемента х по отношению  называют множество всех элементов [x] = {yA| (x, y)  или x  y}.

Лемма 1.

Классы эквивалентности - непустые множества.

Доказательство.

x  x  (x, x)  x [x].

Лемма 2.

Если a ~ b, то [a] = [b].

Доказательство.

1. Пусть x [a]  x  a и a  b  x  b  x [b]

2. Пусть x [b]  x  b и b  a  x  a  x [a]  [a] = [b].

Лемма 3.

Если a  b, то [a]  [b] = 

Доказательство.

Пусть x[a]  [b] = x  [a] и x  [b]  x  a, x  b  a  b  получили противоречие.

Три доказанных леммы можно объединить в одну теорему.

Теорема.

Если на множестве А задано отношение эквивалентности  , то оно определяет разбиение множества А на непустые непересекающиеся классы эквивалентности.

Обратная теорема.

Пусть P = {P_i} – разбиение множества А;  P_i = A, P_i  P_i = , если i ≠ j. Тогда на множестве А строится отношение эквивалентности по следующему правилу: x, y  A: x  y  x  P_i и y  P_i.

Доказательство.

1. x  x (x  P_i);

2. Если x  y, то y  x (x, y P_i);

3. Если x  y, y  z, то x z (x, y, z P_i).

Теорема доказана.

Множество классов эквивалентности, построенных по данному отношению эквивалентности , называется фактормножеством множества А по отношению .

Пример.

1. В случае отношения обучаемых в одной группе: класс эквивалентности – группа, фактор множество – множество групп.

2. В случае отношения сравнения по mod m: класс эквивалентности – множество натуральных чисел имеющих один и тот же остаток при делении на m, фактор множество – семейство всех классов.