Матрицы конечных бинарных отношений.

Пусть A и B – два конечных множества: |A| = m, |B| = n;

A = {a₁, a₂,…, a_m}, B={ b₁, b₂,…,b_n}.

Пусть

Матрицей P = () бинарного отношения называют матрицу, в которой m строк и n столбцов, элементы которой определяются так:

=

Пример.

A = {1, 2, 3}; B = {a, b}; = {(1, a), (2, b), (3, a), (3, b)};

Свойства матриц конечных бинарных отношений.

1. Матрицы объединения и пересечения двух бинарных отношений.

Пусть - два конечных бинарных отношения из множества A в множество B с матрицами P и Q:

P = ,

Выясним, как строятся матрицы: объединения и пересечения

или

или .

Определим операцию так: 00 = 0; 10 = 01 = 11 = 1.

Тогда можно записать:

или S = P Q, где сложение производится поэлементно.

В матрице пересечения и и .

Можно записать или по-другому: T = P × Q, где ×  поэлементное умножение.

Пример.

₂ = {(1, b),(2, b)}. Построим матрицы P, Q, S = P Q, T = P × Q.

P = Q = S = T =

2. Матрица композиции двух конечных бинарных отношений.

Пусть - два конечных бинарных отношения ;

Обозначим их матрицы P = , соответственно.

Покажем, как строится матрица композиции: .

и .

Это означает, что если перемножить i – строку матрицы P на j – столбец матрицы Q(по правилу умножения матриц), то среди слагаемых найдется сомножитель, равный 1. Значит S = PQ, где под умножением понимается обычное умножение матриц, но сложение осуществляется по правилу .

Пример.

A = {1, 2, 3}; C = {x, y}; D = {a, b, c};

{(1, x), (3, x), (2, x), (2, y)};

{(x, a), (y, a), (y, c)};

{(1, a), (2, a), (3, a), (2, c)};

3. Матрица обратного отношения.

Пусть - некоторое бинарное отношение с матрицей P = (p_ij). Построим матрицу Q = (q_ij) бинарного отношения , .

По определению обратного отношения, чтобы получить матрицу Q, нужно поменять местами строки и столбцы в матрице P (транспонировать P).

3. Пусть , тогда p_ij q_ij т.е. можно записать P Q (сравнение поэлементное).

4. Матрица тождественного бинарного отношения содержит все единицы на главной диагонали, а её остальные элементы равны нулю (диагональная матрица).

Матрица универсального бинарного отношения состоит только из единиц.

Матрица пустого бинарного отношения содержит только нули.

3. Матрица рефлексивного бинарного отношения

Если  рефлексивно, то , P. Следовательно, матрица рефлексивного бинарного отношения содержит на главной диагонали только единицы.

3. Матрица антирефлексивного бинарного отношения.

Отношение  антирефлексивно, если в матрице P на главной диагонали стоят только нули.

3. Матрица симметричного бинарного отношения.

Если симметрично, то =^-1 P = P^T.

3. Матрица антисимметричного бинарного отношения.

, т.е. в матрице P ×P^T единицы могут стоять только на главной диагонали.

3. Матрица транзитивного бинарного отношения.

Пример.

Исследовать свойства бинарного отношения , заданного матрицей:

.

1). не рефлексивно (на главной диагонали не все единицы);

2). не антирефлексивно (на главной диагонали есть единица);

3).  не симметрично;

4).  антисимметрично (единица стоит только на главной диагонали);

5).  транзитивно;

6).  полное.