Лекция 1. Метод математической индукции.
Метод математической индукции - это мощное средство для доказательства теорем.
Пусть P(n) некоторое утверждение (формула, теорема, свойство), которое зависит от натурального n.
Принцип индукции.
-
Пусть P(n) таково, что P(1) истинное утверждение;
-
Из истинности P(k) следует истинность P(k+1) Тогда P(n) – истинно для любого натурального n.
Эквивалентная формулировка принципа индукции:
-
Пусть P(n) таково, что P(1) – истинно;
-
Из истинности P(n) для всех n = 1, 2,…, k, следует истинность P(k+1). Тогда P(n) – истинно для любого натурального n.
Доказательство по методу математической индукции проходит в три этапа:
-
База индукции:
Доказательство истинности P(1).
-
Шаг индукции или индуктивное предположение:
допускается истинность утверждения P(k) (или P(n) для любого n = 1, 2,…, k).
-
Вывод или индуктивный переход:
доказывается истинность утверждения P(k+1), исходя из индуктивного предположения.
Замечание.
База
индукции не обязательно начинается с
n
= 1. Она может начинаться с любого
натурального
,
тогда утверждение P(n)
верно для любого натурального n,
начиная со значения
.
Схема доказательства по методу математической индукции такова (для простоты положим, что база индукции начинается с n = 1).
Утверждение P(n)
истинно для всех
натуральных n!
Пример 1. Доказать при помощи метода математической индукции:
.
Доказательство.
1). База индукции.
Пусть n = 1, тогда верно равенство
;
2). Индуктивное предположение.
Пусть при n = k верно равенство
;
3). Индуктивный переход.
Пусть n = k + 1, тогда нужно доказать, что
В силу индуктивного предположения
что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать при помощи
метода математической индукции, что
для любого натурального n.
Доказательство.
1). База индукции.
Пусть n = 1, тогда верно сравнение
2). Индуктивное предположение.
Пусть при n = k верно сравнение
значит
3). Индуктивный переход.
Пусть n = k + 1, тогда нужно доказать, что
.
В силу индуктивного предположения
что и требовалось доказать.
Пример 3. Доказать при помощи метода математической индукции:
для любого
Доказательство.
1). База индукции.
Пусть n = 5, тогда верно неравенство
т. е. 32 > 25;
2). Индуктивное предположение.
Пусть при n = k верно неравенство
3). Индуктивный переход.
Пусть n = k + 1, тогда нужно доказать, что
.
Но
так как
если
что и требовалось доказать.
Неравенство Коши-Буняковского.
Теорема 1.
Пусть даны два n-мерных вектора:
где
вещественные числа.
Скалярным произведением этих векторов называется сумма
.
Длина вектора вычисляется по формуле
Докажем, что
(1)
Доказательство (1 способ).
Сначала возведём в квадрат неравенство, которое нужно доказать
Проведём доказательство методом математической индукции.
-
Пусть n = 1, тогда
2. Пусть при n = 1, 2,…, k справедливо неравенство
3. Положим n = k + 1, тогда
С другой стороны
В силу индуктивного предположения
.
Нужно показать, что справедливо неравенство
+
.
Раскроем скобки и проведём почленное сравнение:
+
,
так как
i = 1, 2,…, k.
Теорема доказана.
Метод математической индукции универсален. Именно поэтому доказательства по нему не всегда самые изящные и короткие из возможных.
Приведем другое доказательство неравенства Коши-Буняковского, которое основано на очевидных свойствах скалярного произведения.
Доказательство (2 способ).
-
Пусть
любое число, тогда
-
Очевидно, что
Тогда
.
Мы получили квадратный трехчлен
относительно
,
который не принимает отрицательных
значений, значит, его дискриминант
:
D=
Теорема доказана.
Пример 4.
На плоскости даны n прямых. Доказать, что куски плоскости, на которые эти прямые её разбивают, можно так покрасить белой и черной краской, чтобы никакие два участка, имеющие хотя бы одно общее ребро, не были покрашены в один и тот же цвет. Такая раскраска называется правильной.
Решение. Идея доказательства основана на том, что если у правильно раскрашенной плоскости поменять цвета на противоположные, раскраска останется правильной.
-
При n = 1 плоскость можно правильно раскрасить.
-
Пусть при n = k плоскость можно правильно раскрасить.
-
Пусть на плоскости проведены (k + 1) прямых.
Временно удалим произвольную прямую, оставив k прямых: по индуктивному предположению правильная раскраска существует. Теперь добавим удалённую прямую. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости, каждая из которых раскрашена правильно. Нарушения правильности могут быть только на границе с добавленной прямой. Поменяем в любой из полуплоскостей цвета на противоположные, раскраска останется правильной, а нарушения исчезнут.
Что и требовалось доказать.