Цифровой дифференциальный анализатор

Алгоритм Цифровой дифференциальный анализатор (англ. DDA - Digital Differential Analyzer) строит 8-связную линию. Для начала, пусть P₁ = (1, 0); P₂ = (1, 1). Для определения того, какой из пикселей, - P₁ или P₂, - следует закрасить, сравним расстояния до них. В силу подобия треугольников, образованных пересечением рисуемого отрезка, прямой x = 1 и перпендикулярами из P₁ и P₂ на отрезок (см. рис. 4.4), достаточно сравнить e (ординату пересечения отрезка c прямой x = 1) с . Далее, для следующего шага алгоритм работает аналогично с учетом изменения e - ординаты пересечения отрезка со следующей вертикальной прямой .

Рис. 4.4.  Цифровой дифференциальный анализатор

// Координаты концов отрезка - (0,0) и (a,b)

e = b/a; // Текущая ордината

Δe = b/a; // Приращение ординаты

// (x,y) - Координаты текущей точки

x = 0; y = 0;

while( x < a )

{

plot(x, y);

if( e > 1/2 )

{

// d : диагональное смещение

x++; y++;

// т.к. произошло смещение по y на 1 вверх

e += Δe - 1;

}

else

{

// s: горизонтальное смещение

x++;

e += Δe;

}

}

Листинг 4.1. Цифровой дифференциальный анализатор

Недостатком данного алгоритма является то, что он работает с числами с плавающей точкой.

Алгоритм Брезенхема

Брезенхем [16] модифицировал алгоритм DDA, чтобы он работал в целых числах. Модифицируем алгоритм следующим образом:

1. уменьшим везде e на , чтобы сравнивать с 0;

2. домножим e и Δe на 2a: e ₀ = 2b - a, Δ e = 2b

Приходим к следующему алгоритму:

// Координаты концов отрезка - (0,0) и (a,b)

e = 2b - a;

ΔeS = 2b;

ΔeD = 2b - 2a;

x = 0; y = 0; // (x,y) - Координаты текущей точки

while(x < a)

{

plot(x, y);

if(e > 0)

{ // d : диагональное смещение

x++; y++;

e += ΔeD;

}

else

{ // s : горизонтальное смещение

x++;

e += ΔeS;

}

}

Листинг 4.2. Алгоритм Брезенхема для отрезка

Алгоритм Брезенхема был создан им для вывода отрезков на цифровых инкрементальных графопостроителях, которые могли осуществлять лишь простые единичные сдвиги печатающей головки. Дальнейшая оптимизация может быть произведена, если заметить, что отрезок симметричен относительно прямой, проходящей перпендикулярно ему через его середину; в этом случае можно начинать рисовать сразу с двух концов, что сократит число итераций цикла в алгоритме вдвое.

Алгоритм Кастла-Питвея

Этот алгоритм гораздо менее эффективен с вычислительной точки зрения, чем алгоритм Брезенхема, однако обладает красивой математической структурой. Он основан на идее, схожей с известным алгоритмом Евклида нахождения Наибольшего Общего Делителя двух натуральных чисел [19].

Будем работать со строками, кодирующими последовательность закраски (т.е. состоящими из символов s и d, определенных выше).

Определим две операции над такими строками:

• - конкатенация строк, например

• - "переворот" строки, например

// Координаты концов отрезка - (0,0) и (a,b)

y = b;

x = a - b;

m1 = "s";

m2 = "d";

while( x \ne y )

{

if( x > y )

{

x = x - y;

m2 = m1 ~ m2;

}

else

{

y = y - x;

m1 = m2 ~ m1;

}

}

Листинг 4.3. Алгоритм Кастла-Питвея

После завершения работы алгоритма задает нужную последовательность сдвигов. Доказательство корректности работы этого алгоритма мы опустим ввиду его громоздкости.