Лекция 9 Неопределенный интеграл, общая теория Первообразная, основное свойство первообразных
Определение
1. Первообразной функции
называется функция
,
производная которой равна
,
то есть
.
Поскольку
,
где
постоянная,
первообразных функции
бесчисленное множество.
Теорема.
Любые две первообразные функции
могут отличаться только на постоянную.
Другими словами, если
и
,
то
Доказательство.
,
и поскольку производная разности двух
первообразных оказалась равной нулю,
разность функций является постоянной.
Определение
2. Множество всех первообразных одной
функции называется неопределенным
интегралом и обозначается
,
причем
называется подынтегральной функцией,
подынтегральным
выражением.
Очевидно,
,
где
,
а
произвольная
постоянная интегрирования, слово
"произвольная" подчеркивает, что
постоянная может принимать любые
значения.
Свойства неопределенного интеграла (ни)
1.
Доказательство.
.
2.
Доказательство:
.
3.
Доказательство.
.
4.
,
если
постоянная.
Доказательство.
Пусть
,
причем
,
поскольку
,
первообразная
функции
,
следовательно,
.
5.
,
если
и
,
где
.
Доказательство.
Поскольку
,
является первообразной функции
,
следовательно,
.
Примечание. Доказательства проводятся с точностью до постоянной интегрирования, что следует из определения интеграла.
Следствия.
1. Если
,
то
Доказательство.
Дифференцируем обе части доказываемого
равенства, причем
,
имеем
,
,
производные левой и правой частей равенства совпадают, следовательно, сами функции отличаются на постоянную.
2.
Доказательство.
Из
при
имеем
,
откуда имеем
.
3.
Доказательство следует из первого и второго следствий.
Таблица интегралов
1.
.
Доказательство
.
2.
.
Доказательство
.
3.
.
Доказательство
.
4.
.
Доказательство
.
5.
.
Доказательство
.
6.
Доказательство
.
7.
.
Доказательство
.
8.
.
Доказательство
.
9.
.
Доказательство
.
10.
.
Доказательство
.
11.
.
Доказательство
.
12.
.
Доказательство
.
13.
.
Доказательство.
.
14.
.
Доказательство
.
15.
.
Доказательство.
.
16.
.
Доказательство.
.
17.
.
Доказательство.
Имея таблицу производных и свойства интегралов, можно приступать к вычислению других интегралов. Однако, в отличие от процедуры дифференцирования, единой для сколь угодно сложных функций, в интегрировании нет стандартных приемов, обязательно приводящих к результату. Более того, не все интегралы вычисляются точно. Единственной рекомендацией общего характера является приведение нового интеграла к одному, или нескольким уже известным. Для этого существует несколько правил, они носят рекомендательный характер и не обязательно приводят к успеху.
Приемы интегрирования
1. Тождественные преобразования подынтегрального выражения и использование свойств интегралов (непосредственное интегрирование).
2. Замена переменной в интеграле.
3. Интегрирование по частям.
Первый прием достаточно хорошо реализуется при вычислении простых интегралов, для его применения, как правило, достаточно таблицы интегралов и его свойств.
Примеры.
1.
.
2.
В этом интеграле
заменили равным ему выражением
,
после чего интеграл фактически принял
вид
,
то есть стал табличным.
3.
.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить интегралы
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
.