Тригонометрические и показательные функции

1. Рассматриваются интегралы , где дробно-рациональная функция, двух аргументов и . Другими словами, в числителе и знаменателе этой дроби присутствуют только целые, положительные степени этих аргументов.

Заменой переменной эти интегралы сводятся к интегралам , причем дробно-рациональная функция, но уже аргумента , что приводит поставленную задачу к задаче предыдущего параграфа.

Этот переход может быть осуществлен с помощью, так называемой, универсальной подстановки , тогда  .

Нетрудно показать, что

, .

Итак,

.

Указанная подстановка позволяет свести рассматриваемый интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции. Однако, как показывает опыт, эта замена чаще всего приводит к интегралам вычисление которых весьма затруднительно, а иногда невозможно.

В некоторых случаях с помощью других подстановок удается получить более простые дробно-рациональные функции. В отличие от универсальной, эти подстановки, называют иногда специальными, так как применимы они лишь при выполнении некоторых условий.

1. Замена применима при выполнении условия

,

то есть подынтегральная функция нечетна относительно .

2. Замена применима при выполнении условия

,

3. Замена применима при выполнении условия

.

Это условие реализуется, когда функция либо четна, либо нечетна одновременно относительно и .

Таким образом, применение универсальной подстановки целесообразно, когда не работает ни одна из специальных подстановок.

Пример 1. Вычислить .

В этом интеграле допустимы и универсальная, и все специальные подстановки, однако, наиболее удобная из них :

.

Пример 2. Вычислить . В этом случае не работает ни одна из специальных подстановок, приходится применять универсальную

.

Знаменатель подынтегральной функции имеет действительные корни, следовательно, она может быть представлена в виде суммы двух простых дробей

,

откуда следует система уравнений

,

решение которой . Итак,

.

Интегралы вида рассмотрим отдельно. Вообще говоря, эти интегралы являются частным случаем интеграла , следовательно, к ним применима вышеизложенная теория. Ее следует использовать, когда один из показателей степени нечетен. Если нечетно, то делается замена , если нечетно , реализуется замена .

Интересен случай, когда и четны. Теория предлагает в этом случае замену . Однако удобнее использовать одну из формул

.

Введение двойного угла позволяет понизить общую степень подынтегральной функции, что, конечно, упрощает вычисление интеграла.

Пример 3.

.

Наконец, интегралы вида , , преобразуются с помощью формул

,

,

.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

21. , 22. , 23. ,

24. , 25. , 26. ,

27. , 28. , 29. .

Показательные функции

Вычисляются интегралы вида , где дробно-рациональная функция аргумента . В этом классе рекомендуется замена , тогда .

Пример.

Примеры для самостоятельного решения

30. , 31. , 32. .

19