Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли (рис. 6)— плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).

Уравнения:

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольной декартовой системе координат:

,

Фокусы лемнискаты — F₁( − c;0) и F₂(c;0). Возьмём произвольную точку M(x;y). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть

,

и по определению оно равно c²:

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену a² = 2c², хотя это не обязательно:

В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.

проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y². Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

• в полярной системе координат:

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1:

Используем ещё одно тождество: cos²α − sin²α = cos2α:

Делим на ρ², предполагая, что :

\

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a² = 2c²:

плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

• параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Свойства:

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c, синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини:

• Лемниската — кривая четвёртого порядка;

• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами;

• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки;

• Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.