Международный университет Природы, Общества и Человека «Дубна»

Кафедра персональной электроники

Лабораторная работа № 5

по дисциплине

«Основы автоматики и

систем автоматического управления»

Тема:

«Анализ устойчивости линейных систем управления с обратной связью»

Выполнил: студент гр. № 4141,

Понкин Д. О.

Проверил: проф. Трофимов А. Т.

Дубна, 2011

Оглавлени

1.ЦЕЛЬ РАБОТЫ 2

2.ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 2

3.ХОД ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 5

3.1.Анализ устойчивости с помощью MATLAB. 5

3.2.Система чтения информации с диска. 9

4.ВЫВОДЫ 10

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ 2

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 2

3. ХОД ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 5

3.1. Анализ устойчивости с помощью MATLAB. 5

3.2. Система чтения информации с диска. 9

4. ВЫВОДЫ 11

1. Цель работы

• Провести анализ устойчивости системы и найти ее связь с расположением полюсов ее передаточной функции на s-плоскости.

• Рассмотреть и провести анализ критерия устойчивости Рауса – Гурвица.

• Проанализировать устойчивость системы, представленной моделью в переменных состояния.

• Проанализировать устойчивость системы чтения информации с диска.

2. Теоретическое введение

При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение имеет их устойчивость. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет никакого смысла. Декларируя это, мы должны признать, что, конечно, могут быть и исключения, но в дальнейшем мы будем считать, что все синтезируемые системы управлении должны быть устойчивыми. Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкнутом состоянии, а некоторые даже и проектируются, будучи таковыми. Большинство современных истребителей, если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту управлять машиной, являются неустойчивыми и просто не могут летать. Инженер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость системы управления неустойчивым объектом (например, самолетом), после чего позаботиться об удовлетворении других требований к динамике системы. С помощью обратной связи мы можем обеспечить устойчивость неустойчивого объекта, а затем надлежащим выбором параметров регулятора удовлетворить такие показатели качества, как установившаяся ошибка, относительное перерегулирование, время установления, время максимума переходной характеристики и другие характеристики.

Всегда можно сказать, что замкнутая система является либо устойчивой, либо неустойчивой. При таком подходе речь обычно идет о так называемой абсолютной устойчивости. Систему, обладающую абсолютной устойчивостью, называют просто устойчивой, отбрасывая слово «абсолютная». Если же замкнутая система является устойчивой, то речь может идти о степени этой устойчивости, и тогда пользуются понятием относитель­ной устойчивости. С этим понятием хорошо были знакомы пилоты на заре развития авиации — чем более устойчив был самолет, тем труднее было совершать различные ма­невры (например, развороты). Одним из показателей относительной устойчивости современных истребителей является их высокая маневренность. Истребитель менее устойчив, чем пассажирский самолет, поэтому он способен маневрировать намного легче. Действительно, движения, совершаемые истребителем, могут быть весьма болезненными для «пассажиров». Как мы увидим позже в этом разделе, система будет устойчива (в абсолют­ном смысле), если все полюсы ее передаточной функции или, что то же самое, все собственные значения матрицы А находятся в левой половине s-плоскости. Если же окажется, что все полюсы (или собственные значения) находятся в левой половине s-плоскости, то далее речь может идти об относительной устойчивости, которая определяется положением этих полюсов.

Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией. Иначе говоря, если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала или возмущения и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему называют устойчивой.

Устойчивая система — это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.

Понятие устойчивости можно проиллюстрировать на примере конуса, находящегося на плоской горизонтальной поверхности. Если конус поставить на основание и слегка наклонить, он вернется в первоначальное положение равновесия. Говорят, что такое положение равновесия и соответствующая реакция являются устойчивыми. Если конус положить на бок и слегка толкнуть, то он покатится, тем не менее оставаясь все время на боку. Такое положение равновесия называют нейтрально устойчивым. Если же конус поста­вить на вершину и отпустить, то он упадет на бок, поэтому данное положение равновесия является неустойчивым.

Устойчивость динамической системы определяется аналогичным образом. Реакция системы на отклонение, или начальные условия, будет либо затухать, либо оставаться нейтральной, либо нарастать. Согласно определению, линейная система устойчива тогда и только тогда, если интеграл в бесконечных пределах от абсолютного значения ее импульсной переходной функции g(t) является конечным. Иначе говоря, необходимо, чтобы при ограниченном входном сигнале интеграл был конечным.

Критерий Рауса – Гурвица дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, но мы приведем его в более удобной табличной форме.

В основе критерия Рауса – Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характеристического уравнения

в виде следующей таблицы:

Следующие строки таблицы образуются по приведенному ниже правилу:

где

,

,

,

и.т.д. Алгоритм вычисления элементов таблицы можно построить на основе определителей или на основе выражения для .

Критерий Рауса – Гурвица утверждает, что число корней полинома q(s) с положительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий требует, чтобы для устойчивой системы в первом столбце таблицы Рауса не было изменений знака. Данное условие является и необходимым и достаточным.