Метод Гаусса

Формулу Гаусса називають формулою найвищої алгебраїчної точності, абсциси x_i при інтерполяції (наближенні) функції вибираються з умови забезпечення мінімальної похибки інтерполяції. В методі Гауссса інтеграл

(23)

зводиться до вигляду

(24)

тобто точне значення заміняється на наближену квадратурну формулу.

Це зведення відбувається у наступній послідовності. У формулі (23) змінна x заміняється на

(25)

Тоді

(26)

і з врахуванням (24) можна записати, що:

. (27)

В формулі (24) коефіцієнти та абсциси (вузли) вибираються в залежності від числа вузлів. Значення невідомих є коренями поліномів Лежандра. Вузли розташовані на інтервалі (-1,1), завжди симетрично відносно нуля. Всі вагові коефіцієнти додатні, а їх сума дорівнює 2.

n	i	ti	Ai
1	1	0	2
2	1 ; 2	0,57735027	1
3	1 ; 3 2	0,77459667 0	5/9 8/9
4	1 ; 4 2 ; 3	0,86113631 0,33998104	0,34785484 0,65214516
5	1 ; 5 2 ; 4 3	0,906179846 0,538469310 0	0,236926885 0,478628670 0,568888889

Для достатньо гладкої підінтегральної функції формула Гаусса (27) забезпечує високу точність вже при невеликому числі вузлів . Для оцінки похибки обчислень за формулою Гаусса з вузлами користуються формулою:

,

Наприклад, при

;

.

Метод Чебишoва

Як і в методі Гаусса, метод Чебишoва передбачає заміну інтегралу квадратурною формулою

(28)

з фіксованим числом . Але на відміну від методу Гаусса, тут (в даному методі) найкращі вузли з точки зору наближення підінтегральної функції вибираються з умови, що значення вагових коефіцієнтів рівні між собою і дорівнюють . Тоді формула Чебишoва має вигляд

(29)

Значення в залежності від зведені в таблицю

n	ti
2	0.577350269 t1=-t2
3	0.707106781 t1=-t3 0 t2
4	0.794654472 t1=-t3 0.187592474 t1=-t4
5	0.832497487 t1=-t5 0.374541409 t2=-t4 0 t3
6	0.866246818 t1=-t6 0.422518653 t2=-t5 0.266635401 t3=-t4
7	0.883861700 t1=-t7 0.529656775 t2=-t6 0.323911810 t3=-t5 0 t4

Слід зауважити, що вираз (29) буде точним для вигляду , тобто для поліномів до n-ї степені включно(формула Гаусса - для поліномів степені ). Причому в формулі Чебишoва може приймати значення тільки 2,3,4,5,6,7,9. Більш високого порядку формул нема. В цьому полягає недолік методу. як і в методі Гаусса, при межах інтегрування, відмінних від -1 та +1, з врахуванням формули (29), інтеграл зводиться до вигляду

(30)

Як метод Гаусса, так і метод Чебишова можна використати наступним чином. Проміжок розбивається на декілька відрізків, до кожного з яких застосовується формула інтегрування з n вузлами, а сумарне значення дорівнює інтегралу на проміжку.