- •6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
- •Задача Коші
- •Метод Ейлера
- •Модифікований метод Ейлера
- •Метод Рунге – Кутта четвертого порядку
- •Методи з автоматичною зміною кроку
- •Метод Рунге-Кутта з автоматичною зміною кроку
- •Метод Рунге-Кутта-Мерсона з автоматичною зміною кроку
- •Метод Рунге-Кутта-Фельберга з автоматичною зміною кроку
- •Методи прогнозу і корекції
- •Метод Мілна
- •Метод Адамса
- •Метод Хемінга
- •Формула корекції
- •2.Завдання до лабораторної роботи
- •2.1. Домашня підготовка до роботи
- •2.2. Робота в лабораторії
- •Контрольні запитання
- •Список літератури
- •Методи чисельного розв’язування
- •"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
- •6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
диференціАЛЬНИХ рівнянь
Методичні вказівки
до лабораторної роботи № 6
з курсу
"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації",
6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
Затверджено
на засіданні кафедри
«Безпека інформаційних
технологій»
Протокол № 12 від 12.05.2011р.
Львів – 2011
Методи чисельного розв’язування диференціальних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №6 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" / Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011..- 14 с.
Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц.
А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц.
Н.М. Лужецька, асист.
Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф.
Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф.
А.Е. Лагун, к.т.н., доц.,
Мета роботи – ознайомлення з методами чисельного розв’язування диференційних рівнянь.
ВСТУП
Диференціальне рівняння (ДР), що містить лише одну незалежну змінну і похідні за нею, називають звичайними (ДР). ДР, що містить декілька незалежних змінних і похідні за ними, називають рівняння в частинних похідних.
Порядком ДР називається найвищий порядок похідної (або диференціалу), який входить в рівняння. Звичайне ДР (ЗДР) -го порядку в загальному випадку має незалежну змінну, невідому функцію та її похідні до -го порядку включно:
(1)
- незалежна змінна;
- невідома функція (залежна змінна);
- похідні цієї функції.
Диференціальне рівняння -го порядку, розв’язане відносно старшої похідної, може бути записано у вигляді:
(2)
Щоб розв’язати ЗДР, необхідно мати значення залежної змінної та (або) її похідних при деяких значення незалежної змінної.
Якщо ці значення задані при одному значенні незалежної змінної - така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші, а при або більше значеннях незалежної змінної - задача називається крайовою.
Значення залежної змінної та її похідних називаються додатковими умовами, котрі в задачі Коші називаються початковими, а в крайовій задачі - граничними.
Задача Коші
Задача Коші формулюється так:
Нехай задане ДР
(3)
з початковими умовами . Потрібно знайти функцію , що задовольняє дане рівняння та початкову умову. Для одержання чисельний розв’язку цієї задачі спочатку обчислюють значення похідної, а потім задаючи малий приріст, переходять до нової точки
Положення нової точки визначають за нахилом кривої, обчисленому з допомогою ДР. Таким чином, графік чисельного розв’язку являє собою послідовність коротких прямолінійних відрізків, якими апроксимується істинна крива . Сам чисельний метод визначає порядок дій при переході від даної точки кривої до наступної.
Існують дві групи методів розв’язування задачі Коші.
-
Однокрокові методи. В них для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про попередній крок.
-
Багатокрокові. Для знаходження наступної точки кривої вимагається інформація більш ніж про одну з попередніх точок.
Всі ці методи розв’язування ДР дають розв’язок у вигляді таблиці значень.