- •"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
- •6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено
- •Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
- •Похибка методу прямокутників
- •Похибка методу
- •Метод Сімпсона
- •Метод Гаусса
- •Метод Чебишoва
- •2.Завдання до лабораторної роботи
- •2.1. Домашня підготовка до роботи
- •2.2. Робота в лабораторії
- •Контрольні запитання
- •Список літератури
- •"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
- •6.170103 "Управління інформаційною безпекою"
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ
ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Методичні вказівки
до лабораторної роботи № 4
з курсу
"Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем"
для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації",
6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено
на засіданні кафедри
«Безпека інформаційних
технологій»
Протокол № 12 від 12.05.2011р.
Львів – 2011
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної: Методичні вказівки до лабораторної роботи №4 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" /Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ“ЛП”, 2011.- 14 с.
Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц.
А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц.
Н.М. Лужецька, асист.
Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф.
Рецензент: В.В. Хома, д.т.н., проф.
А.Е. Лагун, к.т.н., доц.,
Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного обчислення означених інтегралів.
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
Нехай задана деяка функція на відрізку . Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
.
Якщо для відома первісна , то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1)
Однак для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Бувають також випадки, коли підінтегральна функція задається таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою.
Ідея чисельних методів інтегрування в наступному. означений інтеграл
можна трактувати як площу фігури (Рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис і графіком підінтегральної функції (криволінійною трапецією).
Рис.
1
Рис.
2
Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
Розглянемо метод прямокутників.
Відрізок розбивають на відрізків , де i= . На кожному з відрізків площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою та висотою .
Тоді (2)
Якщо відрізки рівновеликі :
(3)
Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти або , то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників.
Формула лівих прямокутників :
.
Формула правих прямокутників :
.
Похибка методу прямокутників
( гранична абсолютна похибка, похибка квадратурної формули (3) ):
(4)
де , x[a;b] .
Вираз (4) для похибки показує, що формула (3) є точною для будь-якої лінійної функції, оскільки друга похідна такої функції дорівнює нулю, а отже похибка теж дорівнює нулю.
Рис.
3
Розіб’ємо відрізок інтегрування на n рівних частин, довжиною .
На кожній такій частині дуга кривої заміняється стягуючою її хордою. В точках розбиття проведемо ординати до перетину з кривою . Кінці ординат з’єднаємо прямолінійними відрізками. Тоді можна замінити кожну з одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (Рис.3). Площа криволінійної трапеції наближено дорівнює сумі площ прямолінійних трапецій.
Площа лівої трапеції
Відповідно для трапеції, розміщеної над ділянкою знайдемо:
(5)
Звідси
(6)
Або (7)