![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4. Модели конфликтных ситуаций
- •4.1. Предмет и задача теории игр
- •4.2. Классификация игр
- •4.3. Матричные игры порядка . Нижняя и верхняя цена игры.
- •4.4. Решение матричных игр в чистых стратегиях. Выбор средства проведения рекламной кампании
- •4.5. Матричные игры без седловой точки. Смешанные стратегии
- •4.6. Оптимальные стратегии. Цена игры
- •4.7. Игры порядка
- •4.8. Графический метод решения игр порядка и
- •4.9. Доминирование чистых стратегий
- •4.10. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
- •4.11. Определение плана выпуска продукции при неопределенном спросе
- •4.12. Задача о выгодном вложении средств
- •4.13. Выбор оптимальной стратегии движения
- •4.14. Бесконечные антагонистические игры
- •4.15. Ситуация равновесия по Нэшу
- •4.16. Разрешение конфликта между предприятиями
- •4.17. Выбор наилучшей стратегии ценообразования
- •4.18. Борьба за рынки сбыта
- •4.19. Дилемма заключенного
4.16. Разрешение конфликта между предприятиями
В некотором городе имеются два предприятия,
которые могут выпускать продукцию
разных типов, но одного и того же
назначения. Предприятие
планирует выпускать продукцию двух
типов
и
,
а предприятие
– типов
и
.
Сбыт продукции одного предприятия
зависит от того, какую продукцию выпускает
другое предприятие. Специалисты по
прогнозированию спроса установили,
что если предприятие
выпустит единицу продукции типа
,
а предприятие
– единицу продукции типа
,
то ожидаемые доходы предприятий от
реализации единицы продукции будут
равны
и
ден.ед. соответственно. Таким образом,
между предприятиями имеет место конфликт,
поскольку каждое из них стремится
максимизировать свой ожидаемый доход.
Этот конфликт моделируется биматричной
игрой предприятий
и
с платежными матрицами:
,
.
Требуется определить пропорции в типах продукции, которые целесообразно выпускать каждому предприятию для максимизации ожидаемого дохода.
Пусть
,
,
,
,
,
,
,
.
Имеем биматричную игру двух игроков
(предприятий
и
)
с платежными матрицами:
,
.
Пусть
– стратегия игрока
,
а
– стратегия игрока
.
По теореме Нэша каждая биматричная игра
имеет, по крайней мере, одну ситуацию
равновесия. Это значит, что существуют
стратегии
и
,
для которых справедлива система
неравенств
,
где
,
,
,
.
Для данных задачи получим
,
,
,
,
и система неравенств принимает вид
.
Если
,
то из первого неравенства следует, что
,
а из третьего неравенства следует, что
,
а это противоречивые неравенства.
Если
,
то из второго неравенства следует, что
,
а из четвертого неравенства следует,
что
,
а это также противоречивые неравенства.
Следовательно,
.
Тогда из первых двух неравенств следует,
что
.
А из третьего и четвертого неравенств
следует, что
.
Таким образом, ситуацию равновесия в
смешанных стратегиях образуют векторы:
и
.
Математические ожидания выигрышей игроков в ситуации равновесия равны:
и
Полученное решение в содержательных
терминах примера означает, что предприятие
выбирает выпуск продукции
и
с вероятностями, соответственно равными
3/5 и 2/5, а предприятие
– выпуск продукции
и
с вероятностями 2/3 и 1/3. При этом
математическое ожидание дохода
предприятия
будет равно 500 ден.ед., а предприятия
– 1100 ден.ед.
Оптимальные пропорции выпуска продукции:
для предприятия
60% продукции
и 40% продукции
,
для предприятия
67% продукции
и 33% продукции
.
Определим ситуацию равновесия в биматричной игре с помощью Excel. На рис.3.1 представлен образец записи исходных данных.
|
A |
B |
C |
D |
E |
|
1 |
Равновесие в биматричной игре 2х2 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
A |
|
B |
|||
4 |
600 |
300 |
|
500 |
1500 |
|
5 |
300 |
900 |
|
2000 |
500 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
Неизвестные векторы |
Сумма |
|
|||
8 |
Строка P |
0 |
0 |
0 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
10 |
Столбец Q |
0 |
|
0 |
|
|
11 |
|
0 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
13 |
Условия равновесия Нэша |
|
||||
14 |
|
AQ |
<= |
PAQ |
|
|
15 |
|
0 |
|
0 |
|
|
16 |
|
0 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
18 |
PB |
<= |
PBQ |
|
||
19 |
0 |
0 |
|
0 |
|
Рис. 3.1. Организация исходных данных в биматричной игре
В ячейках A4 : B5 записаны элементы матрицы
,
а в ячейках D4 : E5 – элементы
матрицы
.
Для компонент искомых векторов
и
зарезервированы ячейки B8 : C8 и B10 : B11
соответственно. В ячейках D8 и D10 помещаются
суммы компонент этих векторов (см. табл.
3.1).
Таблица 3.1
Ячейка |
Формула |
D8 |
=СУММ(B8:C8) |
D10 |
=СУММ(B10:B11) |
Условия равновесия Нэша можно представить в матричном виде
.
есть вектор-столбец, компоненты которого
расположены в ячейках B15:B16.
Чтобы вычислить эти компоненты, следует
выделить соответствующие ячейки и
обратиться к функции «МУМНОЖ», указав
адрес матрицы A и адрес вектора Q:
{=МУМНОЖ(A4 : B5; B10: B11)}.
Одновременное нажатие клавиш Ctrl
+ Shift + Enter
приведет к заполнению выделенных ячеек.
есть число, полученное умножением строки
на столбец
.
Поэтому в ячейку D15 заносится формула
=МУМНОЖ(B8 : C8; B15 : B16).
есть вектор-строка, компоненты которой
расположены в ячейках A19:B19.
Чтобы вычислить эти компоненты, следует
выделить соответствующие ячейки и
обратиться к функции «МУМНОЖ», указав
адрес строки P и адрес
матрицы B:
{=МУМНОЖ(B8 : C8; D4 : E5)}.
Одновременное нажатие клавиш Ctrl
+ Shift + Enter
приведет к заполнению выделенных ячеек.
есть число, полученное умножением строки
на столбец
.
Поэтому в ячейку D19 заносится формула
=МУМНОЖ(A19 : B19; B10 : B11).
Обращение к процедуре “Поиск решения” показано на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Решение биматричной игры
За целевую ячейку принята D8,
значение которой должно быть равно 1,
поскольку
.
Неизвестными являются компоненты
векторов
и
,
расположенные в ячейках B8 : C8 и B10 : B11.
Условия равновесия записываются в виде
ограничений B15 : B16
<= D15 и A19
: B19 <= D19.
Ограничения B8 : C8 >= 0 и B10 : B11 >= 0
представляют собой условия неотрицательности
векторов
и
.
Ограничение D10 = 1 соответствует условию
нормировки вектора
:
.
Выполнение процедуры “Поиск решения”
приводит к нахождению стратегий
равновесия игрока
:
,
(ячейки B8 : C8) и игрока
:
,
(ячейки B10 : B11), а также к средним ожидаемым
выигрышам игрока
:
(ячейка
D15) и игрока
:
( ячейка D19).