1.8. Центр тяжести тела
Система сил, линии действия которых параллельны, называется системой параллельных сил.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.
Силы притяжения отдельных частиц тела к Земле направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть сила тяжести тела, по модулю равная его весу.
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Так как силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку твердого тела, то принято считать, что сила тяжести тела приложена в его центре тяжести. При решении многих технических задач важно уметь определять положение центра тяжести, часто это можно сделать весьма простыми методами.
Иногда представляется возможность разбить тело на такие части, веса и положения центров тяжести которых известны. Задав положение Центров тяжести всех частей тела в декартовой системе координат, положение центра тяжести тела можно определить по формулам:
(1.57)
где xС, yС, zС- координаты центра тяжести тела; хi, уi, zi координаты Центра тяжести i-й части; Рi - вес i-й части тела; Р - вес тела.
Если тело изготовлено из однородного материала, то выражения (1.57) можно преобразовать к более удобному виду:
(1.58)
где Vi - объем ; i-й части тела; V - объем тела.
Если тело однородное и плоское, то выражения (1.57) преобразуются
к виду:
(1.59)
где Si - площадь i- й части тела; S - площадь всего тела.
Если тело состоит из однородных стержней, вес единицы длины которых одинаков для всего тела, то выражения (1.57) преобразуются к виду:
(1.60)
где хi , yi , zi - координаты середины i-го стержня: I i - длина i -го стержня;
l - суммарная длина всех стержней.
Используя формулы (1.57) — (1.60), легко показать, что если тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси, если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит на их пересечении.
Иногда, если тело состоит из частей, содержащих пустоты, удобно применить прием «отрицательного веса». Суть его заключается в том, что координаты центров тяжести, веса (объемы, площади) частей тел с пустотами задаются такими, как будто бы пустот нет. А пустоты считаются частями тела, но с отрицательными знаками веса (объема, площади), причем такими, как если бы пустота была заполнена материалом той же плотности, что и данная часть тела.
В таблице приведены положения центров тяжести и площади наиболее часто встречающихся геометрических фигур.
Таким образом, задачи на определение положения центра тяжести тела решаются в следующей последовательности:
а) вводится система координат (если она не задана в условии задачи);
б) определяются веса (площади, объемы, длины) всех частей тела, включая пустоты, и координаты их центров тяжести;
в) по формулам (1.57) — (1.60) определяются координаты центра тяжести тела, причем веса (объемы, площади) пустот подставляются в эти формулы со знаком «минус».
Пример 1.11. Определить положение центра тяжести тела, изображенного на рис. 1.45, состоящего из двух параллелепипедов и Цилиндра радиусом R= 0,5м, причем а = 4м, b = 2м, с = 2м, h = 2м
Рис. 1.45
Положение центров тяжести каждой из частей тела легко определяется, так как они имеют по две оси симметрии, и, следовательно, центры тяжести будут лежать на пересечении этих осей.
Введем систему координат Oxyz, как показано на рис. 1.45. Начало ее разместим в точке пересечения ребер большого параллелепипеда, оси направим по ребрам этого параллелепипеда. Определим координаты центров тяжести и объемы всех трех частей тела:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Используя формулы (1.58), для изучаемого тела найдем:
Пример 1.12. Для плоского тела, представляющего собой равносторонний треугольник с отверстиями радиусов R=0,16 см и г=0,05 см, изображенный на рис. 1.46, определить положение центра тяжести. Положения и формы отверстий показаны на рис 1.46, а = 0,3 м. Для подсчета положения центра тяжести используем прием «отрицательного веса». Для этого при использовании формул (1.59) площади отверстий будем считать отрицательными.
Рис. 1.46
Введем систему координат Оху, как показано на рис. 1.46. Определим, используя справочную таблицу, координаты центра тяжести треугольника, как если бы он был сплошной, и координаты центров тяжестей отверстий, а также площади треугольников и отверстий:
Используя формулы (1.59), подсчитаем координаты центра тяжести тела.
Пример 1.13. Определить положение центра тяжести стержневой конструкции, изображенной на рис. 1.47, если а=1 м.
Введем систему координат,как показано на рис. 1.47.
Рис. 1.47
Используя элементарные тригонометрические формулы, определим координаты центров стержней и их длины. Стержни 2 и 7 , 4 и 5, так как они лежат на одной прямой, будем считать едиными стержнями. Получим:
Используя формулы (1.60), получим:
