1.2. Аксиомы статики

В основе статики лежит несколько проверенных многовековой практикой положений, называемых аксиомами статики. Опираясь на них, логическим путем строятся все остальные положения статики.

Аксиома 1. Система двух взаимно противоположно направленных сил, равных по модулю и приложенных в одной точке, находится в равновесии (рис. 1.4).

Аксиома 2. Система двух равных по модулю и противоположно направленных сил, приложенных в двух каких-либо точках абсолютно твердого тела и направленных по прямой, связывающей их точки приложения, находится в равновесии (рис. 1.5).

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Аксиома 3. Всякую систему сил (₁)можно, не изменяя оказываемого ей действия, заменить другой системой сил (₂), ей эквивалентной.

Следствие. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия в любую другую точку тела (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Аксиома 4. Две системы сил, различающиеся между собой на систему сил, эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.

Аксиома 5. (Закон параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (рис.1.7).

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 1.7), называется геометрической суммой этих векторов:

= + . (1.1)

Поэтому эту аксиому можно формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Рис. 1.7

Следствие. Любую силу можно разложить на две составляющие силы с наперед заданными линиями действия, лежащими в одной плоскости с исходной силой, точка приложения которых совпадает с точкой приложения исходной силы. В механике силу раскладывают обычно на взаимно перпендикулярные составляющие.

Аксиома 6 (3-й закон Ньютона). Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны. Так, для точек А и В, изображенных на рис. 1.8,

₁₂ = - _21,

где ₂₁ - сила, с которой точка А действует на точку В, a ₁₂ - сила, с которой точка В действует на точку А.

Рис. 1.8

Аксиома 7. Равновесие изменяемой механической системы (деформируемого тела), находящейся в покое, не нарушится, если систему считать неизменяемой (а тело абсолютно твердым).

Однако, следует иметь в виду, что условия равновесия системы сил, приложенных к изменяемому телу, будучи необходимыми, могут и не быть достаточными.

1.3. Момент силы относительно точки и оси

Рассмотрим тело с одной закрепленной точкой О, к которому в некоторой точке А приложена сила (рис. 1.9). Эта сила будет стремиться повернуть тело относительно точки О. Вращательный эффект зависит от модуля силы, положения в пространстве плоскости, проходящей через точку О и линию действия силы, кратчайшего расстояния от точки О до линии действия силы и направления силы. Влияние всех этих факторов можно учесть одним вектором, который называется моментом силы относительно точки (центра) О.

Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) О называется вектор o(), приложенный в этой точке и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки. Модуль момента равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы, которое называется плечом силы относительно точки О.

Иначе говоря, вектор o() может быть определен векторным произведением:

o()=x, (1.2)

где r - радиус-вектор, определяющий положение точки приложения силы относительно точки О (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Модуль момента,согласно правилу векторного произведения,равен:

= Frsina = Fh, (1.3)

где а -угол между векторами и ; h -плечо силы относительно центра О.

Если система состоит из векторов, расположенных в одной плоскости (такая система сил называется плоской), и требуется определять их моменты относительно точек той же плоскости, то нет смысла определять их как векторы, так как все они будут направлены перпендикулярно плоскости расположения сил. Поэтому в случае плоской системы сил момент определяется как алгебраическая величина:

M_O() = ±Fh. (1.4)

Причем, момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость чертежа вокруг точки О в сторону, противоположную вращению часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки.

Рассмотрим тело с двумя закрепленными точками О и О', к которому в некоторой точке А приложена сила F (рис. 1.10). Эта сила будет стремиться повернуть тело относительно оси Oz, проходящей через точки закрепления. Вращательный эффект зависит от модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси Oz; кратчайшего расстояния от точки пересечения оси Oz с плоскостью до линии действия проекции; направления вектора проекции. Все эти факторы можно учесть, введя понятие момента силы относительно оси.

Момент силы F относительно оси Oz может быть определен как алгебраическая величина, равная моменту проекции силы F на плоскость Оху, перпендикулярную оси Oz (_xy), относительно точки О пересечения этой оси с плоскостью (рис. 1.10).

Рис. 1.10

То есть,

M_z=hF_xy,

где h-плечо проекции ху относительно точки О.

Момент силы относительно оси Oz может быть также определен как проекция момента силы относительно произвольной точки оси Oz (например, точки О) на эту ось (рис. 1.11).

Момент силы относительно оси Oz считается положительным, если, смотря навстречу положительного направления оси, можно видеть проекцию силы, стремящейся вращать плоскость Оху в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Рис. 1.11

Если известны проекции силы на оси декартовой системы координат (F_x,F_у,F_z) и координаты точки приложения силы (x,y,z), то моменты силы F относительно осей этой системы координат могут быть определены по формулам:

M_X() = yF_z - zF_y; M_y() = zF_x -xF_z; M_Z() = xF_y - yF_x. (1.5)

Очень важно при решении задач помнить, когда моменты силы относительно точки и оси равны нулю.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как в этом случае плечо силы равно нулю.

Момент силы относительно оси может быть равен нулю в двух случаях:

а) сила параллельна оси, так как в этом случае проекция силы на плоскость, перпендикулярную данной оси, равна нулю;

б) линия действия силы пересекает ось, так как в этом случае плечо проекции силы на плоскость, перпендикулярную данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью равно нулю.

Если положение тела и направление силы определены в декартовой системе координат, то при подсчете моментов силы как относительно точки (при плоской системе сил), так и относительно оси полезно предварительно разложить силы на составляющие, параллельные осям координат, для каждой составляющей момент подсчитать отдельно, а затем алгебраически сложить. Согласно теореме Вариньона, момент равнодействующей сил относительно точки (при плоской системе сил) и оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки или оси.