60. Выражение векторного и смешанного произведения векторов через координаты сомножителей

Пусть в пространстве векторов задан произвольный базис . Пусть заданы своими координатами в этом базисе, т.е.

.

Тогда Так как , то получаем

В частности, если базис – ортонормированный, т.е. то в силу , получаем

Это равенство формально можно переписать в виде

Если ввести в рассмотрение третий вектор и вычислить смешанное произведение векторов, то получаем:

с учетом свойства равенства нулю смешанного произведения компланарных векторов. Отсюда следует, что

или, формально можно записать

Если рассматриваемый базис ортонормированный, то

70. Двойное векторное произведение.

Определение 18. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида .

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть   и . Тогда, в силу   лежит в плоскости векторов и  . Умножим это равенство скалярно на . Имеем .

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда  , такое что , .

Тогда

.

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть вектор направлен вдоль вектора , лежит в плоскости векторов и , определяется из условия, что , , образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

.

.

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

()

.

80. Примеры решения задач.

Пример 1. Вычислить синус угла между векторами , .

Имеем: . . .

Пример 2. Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то если , .

Имеем .

Если параллелограмм расположен в плоскости, то и .

П

ример 3. Вычислим высоту тетраэдра, построенного на векторах , , . Имеем

. Но

.

110