3. Розв’язання проблеми для -формул і -формул.

Під -формулою розуміють формулу , у якої в пренексній нормальній формі кванторна частина містить лише квантори загальності, а під -формулою розуміють формулу , у якої в пренексній нормальній формі кванторна частина містить лише квантори існування, причому Р_і= Р_і(х₁, х₁, …, х₁ ), і=1, 2, …, k.

Теорема 13.6. -формула загальнозначуща тоді й тільки тоді, коли вона тотожно істина на n-елементній множині.

Доведення. Нехай дана формула тотожно істинна на деякій n-елементній множині. Тоді вона тотожно істинна на довільній n-елементній множині ( тому що ці множини ізоморфні). Тоді на будь-якій n-елементній множині тотожно істинна формула . Розглянемо тепер інтерпретацію на довільній множині: Р₁= А₁, …, Р_k=A_k. Одержимо конкретний предикат , який залежить від n-змінних. Підставляючи замість них конкретні предмети, ми фактично маємо справу з n-елементною множиною, на якій цей предикат тотожно істинний. Отже, він буде тотожно істинним і на всій цій множині. Таким чином формула тотожно істинна на любій множині, а разом з нею тотожно істинна на любій множині, тобто загальнозначуща, й формула .

Теорема 13.7. -формула загальнозначуща тоді й тільки тоді, коли вона тотожно істинна на одноелементній множині.

Доведення даної теореми анологічне доведенню попередньої теореми.

Таким чином, проблема виконуваності й загальнозначущості формул логіки предикатів є достатньо складною й, в загальному, не розв’язаною до кінця проблемою.