Тема 1. Вступ. Дійсні числа

ЛЕКЦІЯ 1

1. Вступ.

2. Елементи теорії множин.

3. Поняття відображення або функції.

1. Вступ

Математичний аналіз – частина математики, в якій функції і їх узагальнення вивчаються методами границь. Поняття границі тісно пов'язане з поняттям нескінченно малої величини, тому можна також сказати, що математичний аналіз вивчає функції та їх узагальнення методом нескінченно малих.

"Математичний аналіз" є скороченою назвою старої назви цієї частини математики – "Аналіз нескінченно малих". У класичному математичному аналізі об'єктами вивчення (аналізу) є перш за все функції. Розвиток математичного аналізу привів до можливості вивчення його методами більш складних утворень, ніж функція, функціоналів, операторів і т. д.

У природі та техніці зустрічаються зміни, рухи, які є першою ознакою того, що ми називаємо явищем, процесом. Закони явищ природи зазвичай описуються функціями. Звідси об'єктивна важливість математичного аналізу як засобу вивчення функцій .

Математичний аналіз у широкому розумінні цього терміна охоплює дуже велику частину математики. До нього входять диференціальне числення, інтегральне числення, теорія функцій дійсної змінної, теорія функцій комплексної змінної, наближення функцій, теорія диференціальних рівнянь, теорія інтегральних рівнянь, диференціальна геометрія, варіаційне числення, функціональний аналіз і деякі інші математичні науки.

Усе ж термін "математичний аналіз" часто застосовується для найменування лише основ математичного аналізу, які об'єднують у собі теорію дійсного числа, теорію границь, теорію рядів, диференціальне й інтегральне числення і їх безпосередні застосування, такі, як теорія максимумів та мінімумів, теорія неявних функцій, ряди Фур'є, інтеграли Фур'є.

2. Елементи теорії множин

Поняття множини. Поняття множини є первісним поняттям, тобто таким, якому не дається означення. Можна говорити про множину N усіх натуральних чисел, множину Z усіх цілих чисел, множину Q усіх раціональних чисел і т. д. Творець теорії множин Георг Кантор (1845-1919) розумів множину як зібрання певних та різних об'єктів нашої інтуїції або інтелекту, які сприймаються в якості цілого.

Множина вважається визначеною, якщо про будь-який об'єкт, що розглядається, можна сказати, що він належить або не належить цій множині. Якщо деякий елемент X належить множині A, то пишуть . Якщо елемент X не належить множині A, то це записують так: .

Нехай X– деяка фіксована множина (іноді її називають основною) і P– певна властивість, яку мають деякі елементи . Множина всіх елементів , що належать множині X і мають властивість P, позначається таким чином:

або .

Наприклад, якщо в значенні основної множини взяти множину Z, то множина є множиною натуральних чисел.

Якщо множина має скінченне число елементів, то її можна задати переліком її елементів, тобто записати .

Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається знаком .

Дії над множинами. Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, тобто якщо . Якщо множина є підмножиною множини В, то пишуть або .

Для будь-якої множини А приймається, що .

Множини А та В називаються рівними, якщо і . Рівність множин позначається так: А=В.

Об'єднанням (сумою) множин А та В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить множині А або множині В. Об'єднання множин позначається так: .

Перерізом (добутком) множин А і В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить як множині А, так і множині . Записується: .

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих елементів множини А, які не належать множині В. Різниця множин позначається так: .

Нехай Х − основна множина і . Доповненням до множини А називається множина .

Правила двоїстості. Для будь-яких множин А і В мають місце співвідношення:

1. ;

2. .

Доведемо перше із співвідношень.

і і .

Отже, , тобто .

Аналогічно доводиться друге співвідношення.

Частково впорядковані множини. Нехай М − довільна множина і − деяке бінарне відношення в ній. Це відношення називається частковою впорядкованістю, якщо воно задовольняє умови:

1) рефлексивності: ;

2) транзитивності: якщо і , то ;

3) антисиметричності: якщо і , то .

Часткова впорядкованість може позначатися символом . Множина, в якій задано деяку часткову впорядкованість, називається частково впорядкованою. Запис означає, що елемент а не перевищує b або що він підпорядкований b, передує b, а b − не менше від а йде за а.

У випадку, коли та , користуються символом < , тобто пишуть і говорять, що а менше від b або що а строго підпорядковане b.

Частково впорядкована множина, для будь-яких двох точок а, b якої існує точка c, що йде за ними (), називається напрямленою.

Приклади.

1. Множина всіх натуральних чисел частково впорядкована, якщо означає „b ділиться на a без остачі”.

2. Множина всіх підмножин деякої фіксованої множини частково впорядкована за включенням, якщо означає, що .

3. Упорядкованою парою (a , b) є множина .

Нехай a, b − елементи частково впорядкованої множини. Може виявитися, що жодне із співвідношень і не має місця. У цьому випадку елементи a, b називаються непорівнянними. Тобто відношення порядку може бути визначеним лише для деяких пар елементів, тому й говориться про часткову впорядкованість. Якщо ж в частково впорядкованій множині M непорівняних елементів немає, то множина M називається впорядкованою ( лінійно впорядкованою, цілком упорядкованою ).

Декартовим добутком множин називається множина впорядкованих -ок:

.

Застосовується позначення .

ЛЕКЦІЯ 2