2. Вплив потужності множини і структури формули на її виконуваність

Якщо деяка формула виконувана або тотожно істинна на деякій множині, то те ж саме буде мати місце й на будь-якій множині рівнопотужній даній. Це випливає із наявності взаємно однозначної відповідності між елементами рівнопотужних множин. Тому проблема установлення виконуваності й загальнозначущості формул логіки предикатів полягає в тому, щоб відповісти на питання, для множин якої потужності дана формула виконувана (загальнозначуща), а для яких  ні. Частково відповідь на це питання дає теорема Льовангейма.

Теорема 13.1 (Льовенгейма про виконуваність формул ЛП). Якщо формула логіки предикатів виконувана на якій не будь нескінченній множині, то вона виконувана й на зчисленній множині.

Поте, позитивне вирішення проблеми виконуваності формули на зчисленній множині не є достатнім для її виконуваності на скінченній множині (див. приклад попередньої лекції). Якщо формула виконувана на деякій скінченній множині, то із цього не випливає її виконуваність на скінченній множині з меншою кількістю членів. Розглянемо, наприклад, таку формулу . Якщо в значенні предиката R(x, y) взяти предикат “х ≠ у”, то можна установити виконуваність даної формули на трьохелементній множині й не виконуваність на двохелементній множині.

Проте, проблема виконуваності має наступну загальну властивість.

Теорема 13.2. Якщо формула логіки предикатів виконувана на деякій множині, то вона виконувана також і на кожній множині з більшою кількістю елементів.

Не порушуючи загальнасті, вважатимемо, що всі формули, про які йде мова, замкнені. У 1930-их роках Сколем довів наступну теорему.

Теорема 13.3 (Сколема). Кожну формулу логіки предикатів можна звести до пренексної нормальної форми, кванторна приставка якої має вид (нормальна форма Сколема), котра відносно виконуваності рівнозначна вихідній формулі.

Це означає, що при розв’язуванні проблеми виконуваності, можна обмежитися лише формулами, які мають приставки указаного виду.

Є й інші пропозиції зведення даної проблеми до проблеми виконуваності формул деяких спеціальних видів (Льовенгейм, Кальмар, Гедель, Аккерман).

Для формул, які містять лише одномісні предикатні змінні має місце наступна теорема.

Теорема 13.4. Якщо формула логіки предикатів, яка містить лише одномісні предикатні змінні, виконувана, то вона виконувана на кожній множині, що містить не більше елементів, де n  число різних предикатних змінних у цій формулі.

Із цієї теореми випливає такий наслідок.

Наслідок. Якщо замкнена формула в яку входять лише одномісні предикатні змінні тотожно істина на множині із елементів, то вона загальнозначуща.

Дійсно, припустимо, що формула не загальнозначуща. Тоді її заперечення  є виконуваною формулою. Отже, згідно теореми 13.4, ця формула виконувана на скінченній множині із m елементів, де m< . За теоремою 13.2 вона виконувана й на множині із елементів. Звідси випливає, що на цій множині формула те тотожно істинна, що суперечить умові.

Таким чином, задача про загальнозначущість формули, котра містить лише одномісні предикатні змінні, зводиться до задачі про тотожну істинність цієї формули на скінченній множині. У свою чергу остання задача розв’язується шляхом зведення її до задачі про тотожну істинність деякої формули алгебри висловлень, яка має алгоритмічне розв’язання. Отже, проблема установлення загальнозначущості для класу формул, які містять лише одномісні предикати, ефективно розв’язна.

Зупинимося на проблемі загальнозначущості. Для цієї цієї проблеми розглянута вище теорема Льовенгейма формулюється так.

Теорема 13.5 (Льовенгейма прозагальнозначущість формул ЛП). Якщо формула тотожно істинна на зчисленній множині, то вона загальнозначуща.

Як і для проблеми виконуваності, перехід від нескінченних множин до скінченних і навпаки є якісним. Наступний приклад показує, що на відміну від проблеми виконуваності, розв’язаність проблеми загальнозначущості на деякій множині не тягне за собою її розв’язність на множині, яка включає в себе дану множину. Можна показати, що формула

тотожно істинна на довільній скінченній множині. Але предикат “х  у” на нескінченній множині Z перетворює її в хибне висловлення

,

оскільки посилка цієї імплікації істинна, а висновок хибний.

Ситуація з проблемою розв’язності загальнозначущості, розглянута в попередньому прикладі, має місце й при переході від однієї скінченної множини до іншої, котра містить більшу кількість членів.