Действия над приближенными числами.

1 Умножение и деление приближенных чисел.

1. При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности (не абсолютные!).

Относительная погрешность выражения

r = (1)

оценивается величиной

δ₂ = δ_а1 + δ_а2 +…+ δ_аm + δ_b1 + δ_b2 +…+ δ_bn (2)

Если у одного из чисел ai, bj относительные погрешности значительно превышают относительные погрешности других чисел, относительная погрешность выражения (1) считается равной этой наибольшей погрешности.

2. Абсолютная погрешность выражения (1) вычисляется по его относительной погрешности.

∆r = /r/•δr

Пример: вычислить выражение:

считая, что все числа даны с верными знаками, т.е. их абсолютные погрешности не превосходят половины единицы младшего оставляемого разряда.

Решение: наибольшую относительную погрешность имеет число 3,2

δ_а =

т.о. результат содержит не более двух верных знаков. В расчетах сохраняем один дополнительный знак (округляем числа)

Абсолютная погрешность ∆r = r • δr = 0,221• 0,016 = 0,0036

Результат: r = 0,22; ∆r < 0,005

2. Погрешности вычисления значений функции.

Пусть задана дифференциальная функция

U = f (x₁, x₂,…x_n)

Пусть /∆xi/ (i = 1,…,n) – абсолютные погрешности аргументов.

Абсолютная погрешность функции

/∆U/ = /f (x₁ +∆ x₁, x₂ +∆ x₂, …, x_n +∆ x_n) - f (x₁, x₂,…x_n)/

Т.к. ∆x_i – малы, то можно, разложив f (x_i +∆x_i (i = 1,…n)) в ряд Тейлора и пренебрегая числами ∆x_i ² и т.д., т.е. оставив в разложении только линейные числа, получить:

, т.е.

(1)

Относительная погрешность функции:

(2)

7.1. Функция одной переменной: y = f (x)

Абсолютная погрешность: ∆у = /f’(x)/ • ∆x

Относительная погрешность: (3)

Т.к.

Примеры: а) степенная функция у = х^а

∆у = /а/х^а-1∆x; т.к. ∆у = /f’(x)/ • ∆x

б) показательная функция: у = а^х (а > 0)

∆у = а^х • lnа • ∆х; δ_у = ∆х • lnа

для функции у = е^х получаем δ_у = ∆х

в) логарифмическая функция у = lnх

∆у = 1/х • ∆х = δ_х

для десятичного логарифма имеем ∆у = 0,4343•δ_х

г) тригонометрические функции:

абсолютные погрешности синуса и косинуса не превосходят абсолютные погрешности аргумента: ∆sinx = /cosx/•∆x ≤ ∆x и т.д.

д) функция нескольких переменных.

Пусть U = x y² z³.

x = 37.1 y = 9.87 z = 6.052

∆x = 0.3 ∆у = 0.11 ∆z = 0.016

Находим относительные погрешности аргументов.

; ;

Относительная погрешность функции равна см.(2)

;

На практике ориентировочно можно считать, что наличие только одного знака соответствует относительной погрешности порядка 10 %, двух верных знаков – относительная погрешность порядка 1 %, трех верных знаков – порядка 0,1 %.

При такой относительной погрешности значение функции следует вычислять не более чем с двумя-тремя значений.

U = 801 • 10³

Абсолютная погрешность при этом равна

∆U = U • δ_U = 801• 10³ • 0,038 = 30 • 10³

Целесообразно результат округлить до двух знаков:

U = 8,0 • 10⁵ ∆U = 0,3 • 10⁵

3. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.

(Обратная задача теории погрешностей)

Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

Эта задача математически неопределенна, т.к. заданную предельную погрешность Δ_u функции u = f(x₁,x₂,…,x_n) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Δ_x ee аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается принципом равных влияний:

предполагается, что все частные дифференциалы

(i = 1,2,...,n)

одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Δ_u функции

u = f(x₁,x₂,…,x_n).

Тогда при заданной Δ_u имеем

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, получаем

Отсюда (1)

Пример: радиус основания цилиндра R ≈ 2м . Высота цилиндра Н ≈ 3м . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы объем V можно было вычислить с точностью до 0,1 м³ ?

Решение. Имеем V = πR²H и Δ_V = 0.1 м³.

Полагая R = 2м³ , Н = 3м , π = 3,14 , приближенно получим:

На основании формулы (1) получаем

На самом деле погрешность измерения радиуса больше, чем погрешность измерения высоты. Поэтому следовало бы решать задачу, полагая погрешность и пренебрегая погрешностью , так как в числе можно взять достаточно большое число знаков.

ЛЕКЦИЯ 3

Методы численного решения системы линейных алгебраических уравнений.

1. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

Пример: пусть требуется решить систему уравнений

(1)

Исключим сначала неизвестное х₁ из второго и третьего уравнений системы (1), используя первое уравнение. Уравнение, с помощью которого преобразуются остальные уравнения, называют разрешающим, а коэффициент этого уравнения при неизвестном, исключаемом из остальных уравнений, - разрешающим или главным элементом. (Первое уравнение – разрешающее, коэффициент 5 при х₁ в этом уравнении – разрешающий элемент).

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем преобразованное первое уравнение из второго и третьего уравнений системы (1).

Теперь разрешающее - второе уравнение. Разделим его на и вычтем преобразованное второе уравнение, умноженное на, из третьего уравнения. Получим систему

Выполнен прямой ход в методе Гаусса.

Выполняем обратный ход, исключая последовательно и из второго и первого уравнений:

1. умножаем третье уравнение на и вычитаем его из второго уравнения;

2. умножаем его же на и вычитаем из первого уравнения:

3. умножаем второе уравнение на и вычитаем его из первого:

(2)

Получаем решение системы (1)

Пусть теперь дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3)

Решением системы (3) называется упорядоченное множество чисел , если подстановка превращает уравнения (3) в равенства .