13. Стационарное уравнение Шредингера
Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.
Форма
уравнения Шрёдингера показывает, что
относительно времени его решение должно
быть простым, поскольку время входит в
это уравнение лишь через первую
производную в правой части. Действительно,
частное решение для специального случая,
когда
не является функцией времени, можно
записать в виде:
где функция
должна удовлетворять уравнению:
которое
получается из уравнения Шрёдингера (
)
при подстановке в него указанной выше
формулы для
(2). Заметим, что это уравнение вообще
не содержит времени; в связи с этим оно
называется стационарным уравнением
Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не
содержащее времени).
Выражение
(2) является лишь частным решением
зависящего от времени уравнения
Шрёдингера (1), общее решение представляет
собой линейную комбинацию всех частных
решений вида (2). Зависимость функции
от времени проста, но зависимость ее от
координаты не всегда имеет элементарный
вид, так как уравнение (3) при одном выборе
вида потенциальной функции
совершенно
отличается от того же уравнения при
другом выборе этой функции. В
действительности, уравнение (3) может
быть решено аналитически лишь для
небольшого числа частных типов функции
.
14. Уравнение стоячей волны.
Стоячая волна представляет периодическое во времени колебание с характерным пространственным распределением амплитуды — чередованием узлов (нулей) и пучностей (максимумов). В линейных системах стоячая волна может быть представлена как сумма двух бегущих волн равной амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу.
Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.
Напишем
уравнения двух плоских волн,
распространяющихся в противоположных
направлениях (начальная фаза
):
Учитывая,
что
, получим уравнение стоячей волны:
15. Принцип неопределённости Гейзенберга
Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) — в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.
Обычно
принцип неопределённости иллюстрируется
следующим образом. Рассмотрим ансамбль
невзаимодействующих эквивалентных
частиц, приготовленных в определённом
состоянии, с каждой из которых производятся
два последовательных измерения. Первое
определяет импульс частицы, а второе,
сразу после этого, её координату.
Измерение импульса даст некоторое
распределение с характерной дисперсией.
Второе же измерение даст распределение
значений, дисперсия которого
будет связана с дисперсией импульса
так, что
.
В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это — один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в 1927 г