11. Фазовая и групповая скорость
Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора).
Основная
формула, определяющая фазовую скорость
(монохроматической) волны в одномерном
пространстве или фазовую скорость вдоль
волнового вектора для волны в пространстве
большей размерности:
которая
является прямым следствием того факта,
что фаза плоской волны в однородном
пространстве есть
, для одномерного случая или
для размерности, большей единицы.
Конкретное соотношение между ω и k — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну[1]
В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.
Фазовая скорость электромагнитной волны
В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере, в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.
В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен (см. Дисперсия света), и фазовая скорость может заметно меняться.
Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).
Групповая скорость — это кинематическая характеристика диспергирующей волновой среды, обычно интерпретируемая как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей узкого квазимонохроматического волнового пакета (цуга волн). Групповая скорость определяет скорость переноса энергии квазисинусоидальной волной.
Для одномерных
волн эта скорость вычисляется из закона
дисперсии:
,
где ω — угловая частота, k —
волновое число. Групповая скорость
плоских и пространственных волн с
дисперсией определяется градиентом по
волновому вектору
:
12. Волны Дебройля и их статистическая интерпретация
Согласно
идее де Бройля, свободному электрону,
имеющему фиксированные значения энергии
и импульса p, соответствует волновая
функция - плоская монохроматическая
волна (в дальнейшем, для краткости, -
плоская волна) - волна де Бройля:
где r - радиус-вектор произвольной точки
пространства,
- время,
- амплитуда волны. Частота этой волны
и ее волновой вектор k (
) связаны с энергией
и импульсом p частицы уравнениями де
Бройля, аналогичными соотношениям
Эйнштейна для квантов света, то есть
где
Дж*с - постоянная Планка (введена немецким
физиком М.Планком в 1900 году на основе
гипотезы о дискретности испускания
энергии при установлении законов
излучения абсолютно черного тела).
Статистический смысл амплитуды волны де Бройля
Согласно
статистическому толкованию волн де
Бройля (предложенному Максом Борном),
сочетающему атомизм и волновые свойства
частицы, интенсивность
волн де Бройля в каком-либо месте
пространства пропорциональна плотности
вероятности обнаружить частицу в данном
месте пространства при условии нормировки
где
- элемент объема, а интегрирование
осуществляется по всему пространству
"sp".
- комплексно сопряженная с
функция и
- модуль волновой функции.
В таком понимании волны де Бройля не являются эквивалентными волнам, рассматриваемым в классической физике. Во всех "классических" волнах абсолютное значение амплитуды волны определяет физическое состояние частицы (например, энергию ее колебаний). В случае волн де Бройля интенсивность определяет плотность вероятности местонахождения частицы. Поэтому важно лишь отношение интенсивностей в различных частях пространства, а не сама их абсолютная величина.
Амплитуда волн де Бройля имеет только статистическую интерпретацию.