9. Производная функции.

Пусть функция определена в окрестности . Тогда производной от функции в точке называется предел

где . Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).

Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть существует производная . Тогда

,

причем . Отсюда

Отсюда следует, что значение непрерывно.

10. Основные правила дифференцирования.

1.

Доказательство:

2. (производная от суммы равна сумме производных).

Доказательство:

3. константу можно выносить за знак производной.

Доказательство:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Доказательство:

6. Производная сложной функции:

Доказательство:

Пример.

7. Производная обратной функции

8. Производная функции, заданной параметрически:

Доказательство:

9. Производная функции .

Пример.

.

10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция переменной .

Пример. Найти производную неявной функции .

Это уравнение определяет - функцию от . Подставляя функцию в данное уравнение, получаем тождество . Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим .

.

11. Производные элементарных функций

1. ,

2.

3.

4. , ,

5.

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

12. Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали к кривой.

Пусть - фиксированная точка, - текущая, - секущая. При секущая переходит в касательную в точке (предельное положение секущей).

если то

.

Далее, нам известно уравнение прямой линии

Здесь . Отсюда

- уравнение касательной

- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

- нормали.

Производные высших порядков явно заданных функций

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной .

Обозначение второй производной

Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков

Производные порядка обозначаются и так

Если функция задана параметрически: , , то ее вторая производная определяется формулой

13. Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестности и имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малых можно записать

Причем при . В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

где не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема 9. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точке или что дифференцируема в точке - это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде , где можно положить .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если , можно записать

Предел левой части при существует и равен :

Это означает, что существует производная .