8. Определение функции, непрерывной в точке, по Коши.

Функция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х₀ называется непрерывной в точке х₀ если \

Функция f(x) называется непрерывной в точке х_0, предельной для области определения этой функции, если для любого наперед заданного числа >0,существует такое >0,что для всех значений х из области определения f(x), для которых < выполняется неравенство <.

9. Определение функции, непрерывной в точке, на языке приращений

Пусть y=f(x) непрерывна в точке и существует ,

- бесконечно малая, при , то

- это приращение функции.

- приращение аргумента.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если эта функция определена в какой-нибудь окрестности точки и если , т.е. если бесконечно малому

приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

10. Точки разрыва и их классификации.

Если в какой-либо точке х₀ функция не является непрерывной ,то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а сама функция разрывной в этой точке.

Различают 2 вида точек разрыва: точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Если в точке разрыва х₀ существуют конечные односторонние пределы функции, то разрыв функции называется разрывом первого рода.

Если при этом f(x₀-0)=f(x₀+0)f(x₀), то х₀ – точка устранимого разрыва, если

f(x₀-0)f(x₀+0), то х₀ – точка неустранимого разрыва первого рода , а разность

f(x₀ +0)-f(x₀-0) называется скачком функции f(x) в точке х₀.

11.Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в некоторой точке – главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной этой фунции в выбранной точке на приращение независимой переменной

Геометрически дифференциал равен приращению орди­наты касательной, проведенной к графику функции в точке хо.

Производная же численно равна угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим ^М0КN: tga=NK/M0N =>f’(x₀)= NK/ x, NK= f’(x₀)* x => NK-это диф-л ф-ции в тx₀

равен приращению, которое получает касательная, проведенная в точке М₀, соответствующая приращению ^x

12Формула Тейлора (Маклорена) с остаточным членом в форме Пеано.

Если y=f(x) определена и n-раз дифференцируема в , то можно записать:

Остаточный член в форме Пеано

r_n (x)=o((x-x₀)ⁿ)

Теорема. Если функция f(x) определена и n раз дифференцируема в окрестности точки x₀ , то при x ® x₀ имеет место формула

где r_n (x)=o((x-x₀)ⁿ) - остаточный член в форме Пеано.

Если взять в формуле Тейлора x0 = 0, то мы получим формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано

13Понятие предела фнп

Пусть функция z = f(M) определена на множестве D, M(x₁, x₂,…,x_n) Î Rⁿ, M₀(x₁⁰, x₂⁰,…,x_n⁰).

Определение. (По Коши) Число А называют пределом функции z = f(M) в точке М₀ (при M ®M₀), если "e >0 $d>0 такое, что "MÎD, удовлетворяющей неравенству 0<r(M,M₀)<d, выполняется неравенство |f(M) - A|<e.

14 Понятие частной производной фнп. Геометрический смысл

Величина называется частной производной от функции u=f(x₁,x₂,…,x_n)  по i-ой переменной и обозначается символом или символом .

Геометрический смысл частных производных

Пусть z = f(x, y), (x, y)ÎD. По определению частной производной имеем: т.е. есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x₀, y₀, z₀),где z₀ = f(x₀, y₀). Аналогично, есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке (x₀, y₀, z₀), где z₀ = f(x₀, y₀),

15 Определение ФНП, непрерывных в точке

Пусть множество D Ì Rⁿ. Если каждой точке М(х₁, х₂, ..., х_n) Î D поставлено в соответствие по некоторому правилу f число u Î R, то говорят, что на множестве D задана функция п переменных.

Обозначают: u = f(M), u = f(x₁, x₂, …, x_n), f : Rⁿ ®R.

16 Понятие дифференцируемой ФНП в точке.

Функция u=f(,,…) называется дифференцируемой в точке M(,,…) если её полное приращение в этой точке имеет вид:

или где , i=1,2,…n – числа б.м.м. высшего порядка чем

17 Понятие полного дифференциала

Главная, линейная относительно приращений аргументов, часть полного приращения функции z(x;y) называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

18 Теорема о достаточном условии дифференцируемости ФНП

Если функция u = f(x₁, x₂, …, x_n) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки M₀, причём эти производные непрерывны в точке M₀, то функция u = f(x₁, x₂, …, x_n) дифференцируема в точке M₀.

19 Понятие касательной плоскости и нормали к поверхности в точке.

Касательной плоскостью к поверхности в точке (;;) называется плоскость, в которой лежат все касательные, проведенные к любой кривой, принадлежащей поверхности и проходящие через эту точку.

Нормалью к поверхности в точке (;;) называется прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной плоскости.

== или для неявно заданной ==

20 Понятие производной функции по направлению

Производной скалярной функции U(x;y;z) по направлению в точке (;;) называется конечный предел отношения приращения функции при перемещении из точки (;;) в направлении вектора к величине этого перемещения при стремлении величины этого перемещения к нулю.

21 Теорема для вычисления производной по направлению

Если и u = u(M) дифференцируема в точке M₀, то

22 Понятие градиента. Свойства градиента

Градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) в точке M₀ называется вектор .

Свойства:

1. Градиент в данной точке M₀ связан с производной по направлению формулой .

2. Градиент в данной точке M₀ указывает направление наискорейшего изменения поля в этой точке, а есть наибольшая скорость изменения поля в точке M₀ если направление совпадает с (иначе наименьшее значение).

3. Градиент в точке M₀ направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку M₀.

4. Производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня равна нулю.