28º Рост и нтп

В рамках рассмотренных моделей темп роста основных макропеременных задается темпом роста рабочей силы. Такой рост обычно называется экстенсивным, поскольку он происходит только за счет увеличения объёмов факторов производства – фондов и рабочей силы.

Если , а этот случай реализуется в некоторых странах, то рост потребления может происходить только за счет увеличения фондовооружённости, пока она не превышает оптимального значения (см. параграф 4.6 лекционного конспекта). Если же оптимальное значение достигнуто, то дальнейший рост фондовооружённости приводит к падению потребления. Альтернативой экстенсивному росту является интенсивный рост, происходящий за счет изменения режима воспроизводства и, в частности, производственной функции.

Обратимся сначала к модели без запаздывания. В этом случае удельное потребление как функция фондовооружённости задаётся формулой

.

Легко видеть, что при увеличении функция также увеличится, что приводит к росту максимального удельного потребления . Такой же эффект дает уменьшение коэффициента амортизации.

Если увеличение функции достигается за счёт увеличения ее производной , то вырастет и оптимальная фондовооружённость. Действительно, пусть - старая, - новая производственная функция.

; ,

причём

.

Тогда старая оптимальная фондовооружённостьявляется решением уравнения , а новая - . Поскольку и убывающие функции, то (рисунок).

Заметим, что уменьшение коэффициента амортизации также ведет к увеличению фондовооружённости. Легко видеть, что

,

где .

Величина характеризует скорость прироста выпуска продукта при увеличении объёма фонда. Поэтому увеличение можно интерпретировать как повышение эффективности фондов.

Все сказанное в равной степени относится и к модели, учитывающей запаздывание при освоении капиталовложений. В этом можно убедиться, рассмотрев функцию 4.31 и уравнение 4.32 в лекционном конспекте.

Заметим, что параметр в данном случае характеризует скорость освоения капиталовложений. Увеличение этого параметра приводит к росту оптимальной фондовооружённости и максимального удельного потребления.

Указанные изменения, приводящие к увеличению оптимальной фондовооружённости и максимального удельного потребления, могут происходить только за счёт НТП. Внедрение новых технологий, таким образом, НТП, сдвигая оптимальную фондовооружённости вправо, позволяет продолжать увеличивать реальную фондовооружённость с одновременным ростом удельного потребления в случае, когда возможности экстенсивного роста уже исчерпаны. Благодаря НТП происходит своеобразная «гонка за лидером», где в качестве лидера выступает оптимальная фондовооружённость. Именно динамика этого показателя может быть использована для макроэкономической оценки качества НТП.

29º Производственная функция фирмы

Пусть фирма производит один вид продукции, используя несколько видов затрат (ресурсов). В этом случае она должна выбрать точку в пространстве ресурсов, которое состоит из всех возможных комбинаций затрат. В предположении, что все затраты могут непрерывно изменяться (безгранично делимы), пространство ресурсов будет представлять собой неотрицательный ортант пространство

Величина - количество ресурсов, используемое фирмой.

Технологическая связь между выпуском продукта и затратами называется производственной функцией. Математически это понятие можно определить следующим образом.

Неотрицательную функцию называют производственной функцией, если:

1. 

2. (совокупность покомпонентных неравенств)

3. Вогнута по каждому аргументу.

Величина может представлять собой либо физический объём выпущенной продукции при выбранной единице ее измерения, либо доход фирмы, т.е. стоимость произведенной продукции.

Первое требование к производственной функции является отражением того факта, что невозможно произвести продукцию без затрат. Второе требование также прозрачно: увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска продукции.

Далее считаем, что имеет непрерывные частные производные по каждому аргументу в тех точках, в которых эти производные имеют смысл (не имеет смысл для тех, у которых i-тая компонента равна нулю, мы можем говорить тогда об односторонних. Но, вообще говоря, и односторонние могут быть не определены).

Пусть - единичный вектор (орт) пространства , у которого -тая компонента равна 1, - приращение -го ресурса, - соответствующее приращение выпуска продукции. Величина , показывающая прирост выпуска на единицу прироста -го ресурса, называется производительностью -го ресурса в точке .

Величину называют предельной производительностью i-го ресурса или предельным продуктом по i-му ресурсу. Из второго условия, наложенного на производственную функцию, следует, что все продукты неотрицательны.

Третье условие связано с законом об убывающей доходности (см. п5). Оно выполняется тогда и только тогда, когда не возрастает по i-му агрументу. Это означает, что последовательное увеличение любого вида затрат может привести только к уменьшению предельного продукта, то есть к меньшему приросту производственной функции.

Примеры производственной функции:

1. Линейная

2. ПФ Кобба-Дугласа

3. ПФ Леонтьева: .

Пусть с целью расширения производства фирма увеличивает все виды затрат в раз, тогда относительный прирост производства составит: где вектор первоначальных затрат фирмы.

При этом относительное увеличение каждого вида затрат

Величина (1) является локальным показателем увеличения выпуска продукции при расширении масштабов производства и называется эластичностью производства.

Легко видеть ,что эластичность >=0. Если она >1(<1), то при пропорциональном расширении пространства выпуск продукции возрастает в большей (меньшей) степени, чем затраты.

Заметим, что =[можно представить как]=, где

Т.к. , то эластичность

Определим эластичность выпуска по отношению к i-му ресурсу следующим образом:

(2)

Легко видеть, что есть предел отношения относительного увеличения выпуска продукции к относительному приращению i-го вида затрат, когда это приращение стремиться к нулю, а другие затраты не изменяются.

Из формул (1),(2) получаем:

Таким образом, эластичность производства равна сумме эластичностей выпуска по отношениям ко всем ресурсам.

Замечание: Иногда при моделировании производства ограничиваются двухфакторными ПФ, где - затраты капитала, - затраты трудовых ресурсов.

ПФ такого типа часто используется в макроэкономике. На микроуровне (при большей детализации) модели с двухфакторными ПФ-ми могут быть грубыми.