26º Моделирование запаздывания при освоении капиталовложений

При моделировании экономических процессов часто приходится иметь дело с эффектом запаздывания. Так, например, сделанные в некоторый момент времени инвестиции не могут мгновенно превратиться в фонды. Имеется два подхода к моделированию запаздывания в процессе освоения капиталовложений. Первый из них предполагает наличие временного промежутка лага , по прошествии которого капиталовложения превращаются в фонды. В этом случае можно считать, что фонды, входящие в строй в году , созданы за счет инвестиций, сделанных в году . Тогда уравнение движения фондов будет иметь вид , где - коэффициент выбытия фондов.

Непрерывным аналогом этой формулы является следующее дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием

Наряду с данной моделью в настоящее время используется другой подход к моделированию запаздывания, основанный на введении так называемого распределённого лага. Суть этого подхода состоит в предположении, что инвестиции осваиваются постепенно. Конкретнее: если в году сделаны инвестиции , то в году будет освоена часть . Рассмотрев весь период времени, предшествующий году , получим следующую формулу для фондов, входящих в строй в этом году:. Тогда уравнение движения фондов будет иметь вид .

Непрерывным аналогом этих соотношений будут, соответственно, следующие формулы:

(1)

(2)

Величина показывает, какая доля инвестиций, сделанных в момент , будет освоена в момент . Если эта доля зависит лишь от длительности промежутка освоения, то говорят о стационарности процесса ввода инвестиций в действие. В этом случае , где - некоторая функция одной переменной. Тогда формула (1) принимает вид

.

Вводя новую переменную, получим:

(3)

Остановимся на условиях, которым должна удовлетворять функция . Естественным выглядит предположение о том, что доля сделанных в момент инвестиций, которая будет освоена в момент , тем меньше, чем больше . Это означает, что функция должна быть убывающей или, по крайней мере, невозрастающей. При больших значения должны быть близки к нулю. Это условие можно формализовать следующим образом: (4)

Понятно, что при равномерных капиталовложениях () фонды будут входить в строй также равномерно: . Тогда из (3) получаем:

.

Легко убедиться в том, что перечисленным условиям удовлетворяет функция (5), где которое довольно часто используется при математическом моделировании процессов освоения капиталовложений.

Вычисляя производную правой части (3) по правилам дифференцирования несобственных интегралов по параметру, получим

Интегрируя последний интеграл по частям с учётом (4) будем иметь

(6)

Для экспоненциального закона запаздывания (5) , . В этом случае соотношение (6) принимает вид

.

Отсюда и из (3) получаем

(7)

Таким образом, в случае экспоненциального закона запаздывания объём вводимых в действие фондов может быть найден как решение обыкновенного дифференциального уравнения (7). При этом необходимо задать капиталовложения как функцию времени и начальные значения

27º Сбалансированный рост в однопродуктовой макродинамической модели с запаздыванием

Главное допущение рассмотренной в параграфе 4.1 модели состояло в том, что инвестиции превращаются в фонды мгновенно. Как уже отмечалось, такое предположение не может быть принято безоговорочно, т.к. освоение капиталовложений всегда происходит с определённым лагом (запаздыванием). В связи с этим возникает вопрос: как влияет лаг на основные показатели экономического роста?

В дальнейшем будем считать, что процесс ввода инвестиций в действие является непрерывным и стационарным с экспоненциальным законом запаздывания (26.5). Тогда движение фондов будет описано дифференциальными уравнениями (26.2, 26.7). Соотношения (4.3, 4.4) лекций, не зависящие от процесса создания фондов, разумеется, останутся в силе. Выпишем все уравнения модели:

(1)

Это модель, как и предыдущая, не замкнута. Для ее замыкания надо задать функцию или . Предположим, как и прежде, что рост трудовых ресурсов происходит с постоянным темпом , т.е. . Тогда данную модель можно рассматривать как систему управления, в которой роль управляющего воздействия играет или .

Введем в рассмотрение относительные переменные - фонды, входящие в строй на единицу рабочей силы.

Из (1) следует (2)

В этом можно убедиться с помощью преобразований, аналогичных тем, которые применялись в пар 4.3 лекционного конспекта.

Напомним, что под сбалансированным ростом понимается такой процесс развития экономики, при котором основные макропеременные изменяются с постоянным темпом. С помощью рассуждений, почти ничем не отличающихся от тех, которые использовались в параграфе 4.4 лекционного конспекта можно показать, что темпы роста всех показателей совпадают и равны (Это относится и к ). Отсюда следует, что при сбалансированном росте величины постоянны (не зависят от времени). Таким образом, сбалансированному росту соответствует постоянные решения (положение равновесия, точка покоя) системы дифференциальных уравнений (2), в которой . Найдя такое решение, можно легко определить основные макропеременные (см. формулы 4.19 лекционного конспекта).

Покажем, что, как и в модели без запаздывания, для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста. Для этого достаточно убедиться, что система конечных уравнений

(3)

имеет в области единственное решение.

Выразим из первого уравнения (3) и полученное выражение подставим во второе. В результате будем иметь (4)

Функция имеет тот же вид, что и функция , определенная формулой 4.21 лекционного конспекта. Поэтому, повторяя почти дословно приведенное в параграфе 4.4 лекционного конспекта рассуждение, убеждаемся в том, что уравнение (4) имеет в области единственное решение (РИСУНОК)

Тогда будет решение системы (3), причем других решений в нашей области нет. Заметим, что в случае функции Кобба-Дугласа , и, соответственно, .

Итак, в рассмотренной модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста. Заметим, что, как и в модели без запаздывания, при увеличении нормы накопления возрастает и фондовооружённость на траектории сбалансированного роста.

В параграфе 4.5 лекционного конспекта было показано, что в модели Солоу без запаздывания любая траектория с постоянной нормой накопления с течением времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста. Выясним, сохраняется ли это свойство в рассматриваемом случае.

Пусть

В силу теоремы об устойчивости по первому приближению положение равновесия системы (2) будет асимптотически устойчивым, если характеристические числа матрицы Якоби имеют отрицательные действительные части.

=

Эти числа – корни характеристического уравнения , где

Согласно критерию Гурвица для отрицательности действительных частей корней такого уравнения необходимо и достаточно . Первое неравенство очевидно имеет место. Второе также справедливо, поскольку (см. рисунок с функцией ). Таким образом, постоянное решение системы (2), соответствующее сбалансированному росту, асимптотически устойчиво.

Заметим, что в данном случае, в отличие от модели без запаздывания, мы не можем говорить о сходимости к траектории сбалансированного роста всех траекторий с постоянной нормой накопления. Во всяком случае, это не следует из приведенных рассуждений.