11. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций x = a, x = b, y = 0, y = f(x) (f(x)  0 при x  [a; b]), находится по формуле .

Если фигура (D) ограничена графиками функций x = a, x = b, y = f(x),

y = g(x), f(x)  g(x), при x [a; b], то площадь S фигуры (D) находится по формуле .

Пример 23. Найти площадь S фигуры (D), ограниченной линиями y = –x² + 2x + 2 и y = 2x + 1.

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций, для чего решим уравнение: –x² + 2x + 2 = 2x + 1; x² – 1 = 0; x₁ = –1,

x₂ = 1. Для всех точек x из отрезка [–1; 1] –x² + 2x + 2  2x + 1. Поэтому

.

П ример 24. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Эллипс имеет две оси симметрии: координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь S фигуры равна учетверённой площади S₁ части (D₁) фигуры, расположенной в первой четверти (заштриховано). Фигура (D₁) ограничена сверху линией , снизу – осью 0х, слева – осью 0у. Поэтому

.

Отсюда находим S = 4S₁ = ab.

Площадь S криволинейного сектора, ограниченного графиком функции и лучами и в полярной системе координат, находится по формуле .

Пример 25. Найти площадь S фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением .

Решение. Начнём с изображения линии. Так как , то нам нужно сначала решить неравенство . Имеем

,

, .

При n = 0: ;

при n = 1: ;

при n = 2: ;

при n = 3: – этот угол является повторением угла, соответствующего значению n = 0. Рассмотрение других значений приводит к уже полученным углам на плоскости. Рассмотрим рисунок. Наша фигура ограничена тремя лепестками. Её площадь S равна 3S₁, где S₁ – площадь одного лепестка (заштриховано).

Имеем

.

218