10. Несобственные интегралы
1. Несобственный
интеграл I рода. Пусть
функция f(x) определена на
и интегрируема на отрезке [a; b] для любого
.
Несобственный интеграл первого рода
определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы
и
:
,
.
Пример 19.
Вычислить: а)
;
б)
;
в)
.
Решение. а)
.
б)
,
и интеграл расходится;
в)
.
Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:
(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).
Для исследования
вопроса сходимости несобственного
интеграла часто оказывается полезным
следующий факт
:
Аналогичное
утверждение справедливо для интеграла
,
,
и
,
a > c.
Теорема 5
(первый признак сходимости).
Пусть f(x) и g(x) определены на
,
для любого b>a f(x), g(x) интегрируемы на
и
.
Тогда имеем
-
если
сходится, то сходится и
; -
если
расходится, то расходится и
.
Теорема 6
(второй признак сходимости).
Пусть f(x) и g(x) определены на
,
и пусть существует конечный предел
.
Тогда интегралы
,
ведут себя одинаково в смысле сходимости
(т.е. одновременно сходятся или расходятся).
Теорема 7. Если
сходится, то сходится и
(в таком случае
говорят, что
сходится абсолютно).
Аналогичные
утверждения справедливы для несобственного
интеграла
.
Пример 20. Исследовать на сходимость интегралы:
а)
; б)
; в)
.
Решение.
а) Подынтегральная функция
представляет собой рациональную функцию,
разность степеней числителя и знаменателя
равна 2. Рассмотрим вспомогательную
функцию
.
Найдём предел
.
Следовательно,
согласно второму признаку сходимости,
интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Но известно, что
сходится
,
значит и наш интеграл
сходится.
б)
является иррациональной функцией;
степень числителя равна 3/2 (числитель
можно представить как
),
степень знаменателя равна 2. Рассмотрим
вспомогательную функцию
.
Докажем, что существует конечный предел
,
не равный 0. Действительно,
.
Поэтому
,
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
А так как
расходится, то расходится и
.
в) Обозначим
.
Так как
,
то
.
Интеграл
сходится (доказывается это, как и выше:
,
сходится и можно воспользоваться вторым
признаком сходимости). Мы попадаем в
условие теоремы 5 (часть 1), в которой
говорится, что наш интеграл сходится.
2. Несобственный
интеграл II рода. Пусть
функция f(x) определена на [a; b) и
(или = – ).
Несобственный интеграл второго рода
функции f(x) на [a; b
определяется равенством
.
Если существует
конечный предел в этом равенстве, то
говорят, что интеграл
сходится, в противном случае – расходится.
Аналогично определяется несобственный
интеграл II рода для случаев
и
.
Если же f(x) неограниченна в любой
окрестности некоторой внутренней точки
,
то полагают
.
Пример 21.
Вычислить интегралы: а)
;
б)
Решение. а)
.
б)
.
Значит, интеграл расходится.
Формулировки признаков сходимости для несобственных интегралов II рода, по существу, ничем не отличаются от формулировок признаков сходимости для несобственных интегралов I рода. Для применения этих признаков полезно пользоваться тем, что
,
Пример 22. Исследовать на сходимость интегралы:
а)
;
б)
; в)
.
Решение.
а)
.
Подынтегральная функция
в промежутке [2; 3] имеет особую точку x
= 2. Множитель
стремится к 1/2 при
.
Поэтому естественно ожидать, что наша
функция в окрестности точки x = 2 ведёт
себя, как
;
проверим это:
.
Следовательно,
согласно второму признаку сходимости,
интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Но второй интеграл сходится (p = 1/2 < 1),
поэтому сходится и наш интеграл.
б) Функция
имеет на промежутке [0; 1] одну особую
точку x = 0. Функции
и
являются бесконечно малыми величинами
при
.
Известно, что
,
x2
при
.
Поэтому
при
.
А так как
расходится
,
то расходится и наш интеграл.
в) Разложим
знаменатель (
)
подынтегральной функции
по формуле Тейлора в окрестности особой
точки
функции
:
.
Следовательно,
.
Известно, что
сходится, следовательно, сходится и наш
интеграл.