2. Выпуклость и вогнутость
Дифференцируемая функция называется выпуклой (вогнутой) или выпуклой вверх (вниз) на интервале (a; b), если она удовлетворяет следующему условию: для любых различных точек x1, x2(a;b) часть графика функции y = f(x), соответствующая интервалу (x1; x2), расположена выше (ниже) отрезка M1M2, где M1(x1; f(x1)), M2(x2; f(x2)).
Т очка графика функции, разделяющая выпуклый и вогнутый участки графика, называется точкой перегиба (часто точкой перегиба называют абсциссу этой точки графика функции).
Теорема 5. Если для функции f(x), дважды дифференцируемой в
( a; b), () при всех
x(a; b), то функция f(x) является выпуклой (вогнутой) на (a; b) .
Теорема 6. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на (a; b). Точка x0(a; b) является точкой перегиба в том и только в том случае, если одновременно выполняются два условия: 1) ; 2) при переходе через точку x0 меняет свой знак.
В последней теореме при условии трижды дифференцируемости функции условие 2) можно заменить на .
3. Асимптоты
Прямая (L) называется асимптотой графика функции (или просто асимптотой функции), если расстояние d(M; (L)) от точки М на графике функции y = f(x) до прямой (L) стремится к 0 при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой, если по крайней мере один из односторонних пределов f(x0 – 0), f(x0 + 0) равен – или +.
Наклонная асимптота y = kx + b соответствует случаю x – или x + . Коэффициенты k и b при x + находятся из равенств
,
(то же при x – ). Если же не существует одного из пределов или один из этих пределов равен – или + , то у функции отсутствует наклонная асимптота при x + (то же при x – ).
4. Построение графика функции
При построении графика функции сначала проводят исследование функции. При этом придерживаются следующего (примерного) плана:
1) находят область определения функции; 2) указывают точки пересечения с осями координат; 3) определяют точки разрыва и устанавливают тип разрыва; 4) с помощью первой производной устанавливают интервалы монотонности (т.е. интервалы возрастания и убывания) функции и находят точки экстремума и значения функции в этих точках; 5) с помощью второй производной устанавливают интервалы выпуклости, вогнутости и находят точки перегиба;
6) находят асимптоты функции. Затем по этим данным строят график функции.
Пример 3. Построить график функции .
Решение. 1) Нулями знаменателя являются и . Следовательно, областью определения функции является множество .
2) Найдём точки пересечения с осями координат:
а) c осью 0x . Найдём нули функции: лишь при
x = 0; значит, график функции пересекает ось 0x (или касается оси 0x ) в точке O(0; 0) – начале координат;
б) c осью 0y . Для нахождения общей точки графика функции и оси 0y следует найти f(0): f(0) = 0. Поэтому график пересекает ось 0y в точке O(0; 0).
3) Наша функция представляет собой отношение двух многочленов, поэтому она непрерывна всюду, за исключением нулей знаменателя: и x = 8. Найдём левые и правые пределы в этих точках.
Для точки :
;
.
Отсюда делаем вывод, что является точкой разрыва второго рода.
Для точки x = 8:
;
.
Поэтому x = 8 также является точкой разрыва второго рода.
4) Имеем
.
Критическими точками функции являются её стационарные точки , , . Знак совпадает со знаком выражения .
Видно, что функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках , , . Следовательно, точка является точкой максимума (на рисунке ей соответствует «горка»), точка – точкой минимума (ей соответствует «впадина»). Стационарная точка
не является точкой экстремума. Найдём значение функции в точках экстремума: f() –7,57; f() 25,35.
5) .
Трёхчлен при всех x (его дискриминант меньше 0). Поэтому знак совпадает со знаком дроби .
Составим схему. Видно, что функция выпукла в интервалах (–; –4)
и (0; 8) и вогнута в интервалах (–4; 0) и (8; +). При переходе через точки – 4, 8, 0 меняет свой знак. Поэтому точка x = 0 является точкой перегиба (в точках x = 4, x = 8 функция не определена).
6) Так как , , то прямые и x = 8 являются вертикальными асимптотами. Найдём наклонные асимптоты при x – и при x +. Уравнения этих асимптот будем искать в виде y = kx + b:
а) x –.
,
Таким образом, прямая y = x + 4 является асимптотой при x –;
б) при x + получим тот же результат: прямая y = x + 4 является асимптотой.
Основываясь на полученных данных, построим график функции.
Пример 4. Построить график функции .
Решение. 1) Областью определения функции является (–; +).
2) Найдём точки пересечения с осями координат:
а) c осью 0x. Функция не имеет нулей, следовательно, она не имеет общих точек с осью 0x;
б) c осью 0y. Имеем . Точка (0; e-4) является точкой пересечения графика с осью 0y.
3) Наша функция является суперпозицией непрерывных функций, поэтому она непрерывна на всей числовой оси.
4) Имеем
.
Ф ункция имеет одну стационарную точку . Функция возрастает на промежутке (–; 2) и убывает на промежутке (2; +), точка x = 2 является точкой максимума. Максимум функции равен .
5).
Ф ункция имеет нули x1=2–, x2=2+. Она выпукла на интервале (2–; 2+) и вогнута на интервалах (–; 2–), (2+; + ). Точки x = 2 – и x = 2 + являются точками перегиба.
6) Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то она не имеет вертикальных асимптот. Найдём наклонные асимптоты.
а) x – . Ищем асимптоту в виде y = kx + b.
,
.
Таким образом, прямая является асимптотой функции при
x –.
б) При x + получим тот же результат: является асимптотой при x +.
По полученным данным построим график функции.
Пример 5. Построить график функции
Решение. 1) Область определения функции , .
2) Точки пересечения с осями координат
; ; ;
;
3) Функция непрерывна на всей области определения.
4)
Следовательно, производная в точке не определена.
, , стационарная точка.
Функция убывает на промежутках и возрастает на промежутке
Следовательно, точка является точкой максимума; критическая точка, является точкой минимума.
,
График данной функции приведен на рисунке.