, .

3. Основные свойства неопределённого интеграла

1. ;

2. , где k – постоянная величина;

3. .

(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).

Пример 1. Найти .

Решение. =

.

4. Интегрирование методом замены переменного

Теорема 1. Если F(x) – первообразная функции f(x), то при условии и дифференцируемости функции (x) справедлива формула

или

.

Пример 2. Найти интегралы: а) ; б); в).

Решение.

а)

;

б)

;

в)

.

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Пример 4. Найти .

Решение. Положим .

Тогда и

Пример 5. Найти .

Решение. Применим подстановку .

Тогда .

Имеем

.

5. Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по частям

.

Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv.

Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.

I тип	II тип	III тип (интегралы, приводящиеся к себе)

За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. P_n (x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как , так и тригонометрические функции , ).

По частям могут быть взяты и интегралы, не вошедшие в эту таблицу.

Пример 6. Найти интегралы:

а);    б);    в) .

Решение. а)

.

Здесь и ниже при нахождении v при известном dv мы полагаем С = 0 (как в этом случае: dv = dx, отсюда следует v = x + C, но мы берём одну из первообразных v = x).

б)

.

в) Обозначим . Имеем

.

Получается, что

Отсюда находим (учитывая, что J является семейством функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину)

.

6. Интегрирование рациональных функций Интегрирование рациональной функции

,   ,  являющейся правильной дробью (т.е.   при ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых дробей. Если же дробь является неправильной (), то её представляют в виде суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.

Пример 7. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение. а)

б)

.

Пример 8. Найти интегралы: а) ;

б) ;   в) .

Решение. а) Найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей:

;

;

;

Таким образом,

.

б) .

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей:

;

.          (1)

x = 0; –8A = +5.  A = –5/8,

x = 2; 24B = 3.  B = 1/8.

Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x³ и x):

Отсюда, зная уже A = –5/8 , B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,

.

в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком

x⁴ – 3x² + 2x +7 x³ – 2x² + x

x⁴ – 2x³ + x² x + 2

2x³ – 4x² + 2x + 7

2x³ – 4x²+2x

7

Таким образом,

.

Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:

;

; (2)

x = 0; A = 7;

x = 1; B₂ = 7.

Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B₁ = 0, B₁ = –A = –7 . Таким образом,

.