33. Предельная точка множества. Точка р называется предельной точкой множества м, если в любой окрестности точки р имеется, по крайней мере, ещё одна точка множества м, кроме точки р.

Окрестностью точки x₀ на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x₀ не более чем на ε.

34. Коши: Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что при условии

Гейне: Функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к L.

35. Односторонний предел - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны(справа или слева).

36. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e или же

37. Бесконечно малая - , или .

Бесконечно большая

38. 1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: .

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

39. Пусть и — бесконечно малые при . Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут .

Если , то наоборот.

Если где m - число, отличное от нуля, то говорят, что и бесконечно малые одного и того же порядка.

Если , то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми. !!!ПРИМЕНЕНИЕ!!!

40.--------------

41. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке, если выполняются 3 условия:

1. Функция y=f(x) определена в точек х_0;

2. Существует ;

3. .

Если в точку X₀ нарушено хоть одно условие, то функция называется разрывной в точке Х₀.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

Односторонняя непрерывность – непрерывность функции слева или справа (вводится в связи с наличием односторонних пределов)

42. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке:

существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; эти односторонние пределы конечны.

Если левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу - точка устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу - точкой конечного разрыва.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.