03 семестр / Разное / Пример курсача / Задача 4
.docЗадача №4
Электрон с энергией E = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси , встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высоты U0 = 20эВ .Определить
a) вероятность отражения электрона от этого барьера;
б) коэффициент преломления волн де Бройля на границе этого барьера.
Дано:
E = 50 эВ
-
R- ?
-
n- ?
Решение:
1)
U(x)
U0
Запишем уравнение Шредингера в общем виде
(4)
Возьмем начало барьера в точке х = 0. Тогда потенциальная энергия при х < 0 равна 0, при х ≥ 0 U =U0. В области х < 0 уравнение (4) имеет вид
(4.1)
Общее решение такого уравнения:
(4.2)
где (4.3)
Волновая функция частицы в области х < 0
(4.4)
Здесь первое слагаемое представляет волну,
падающую на барьер, второе – волну, отраженную от барьера.
Коэффициент отражения R определяется как
(4.5)
В области х ≥ 0 уравнение (4) имеет вид (4.6)
Тогда решения этого уравнения:
где . (4.7)
(4.8)
Второе слагаемое в этом решении представляет волну, бегущую в отрицательном направлении оси Х. Поскольку барьер имеет бесконечную протяженность, отражения волны в области х ≥ 0 произойти не может. Следовательно, D = 0. Получаем
. (4.9)
Из непрерывности волновой функции в точке х=0 (2)
получим
A+B=C, (4.10)
Из непрерывности производных –
(4.11)
получим
(4.12)
Подставив 4.4 в 4.5
(4.13)
Выразим R через k
(4.14)
где и (4.15)
В итоге
-вероятность того, что частица отразится от барьера.
Подставим данные задачи
0,016∙100%=1,6%
2) Коэффициент преломления это
(4.16)
где v1 и v2 скорости до и после прохождения барьера.
Выведем формулу для коэффициента отражения волн де Бройля.
Импульс можно выразить как
и
Где k – волновое число, .
Тогда
(4.17)
Подставим 4.8 в 4.11
(4.18)
Подставим данные задачи
Ответ: а) 1,6%
б) 0,77