03 семестр / Разное / Пример курсача / Задача 1

Задача №1

Частица массой находиться в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной d (0 < x < d) с бесконечно высокими стенками. Состояние частицы описывается волновой функцией .

Определить: 1) Вероятность пребывания частицы в основном состоянии; 2) энергию частицы в этом состоянии; 3) среднее значение координаты ‹ x › и импульса ‹ p_x › частицы; 4) среднее значение кинетической энергии частицы ‹ T ›. Изобразить графически распределение плотности вероятности. Ширина ямы d = 0,2 нм. Масса частицы m_e = 9,31∙10^-31 кг.

Дано:

d = 0,2 нм

m_e = 9,31∙10^-31 кг

1. P - ?

2. E - ?

3. ‹ x ›, ‹ p_x › - ?

4. ‹ T › - ?

Решение

1. Функцию Ψ можно представить в виде разложения по собственным волновым функциям . Квадраты модулей коэффициентов разложения будут вероятностями P_n нахождения частицы в состоянии соответствующими энергиями

(1.1)

Для n = 1

P₁ = 0, 96

2) Энергия частицы равна

(1.2) Для основного состояния (n = 1)

E = 9, 375 эВ

3)

а) Cреднее значение координаты частицы ищется по формуле

(1.3)

1∙10^-10м

б) среднее значение импульса ‹ p_x › частицы

(1.4)

Оператор проекции импульса принимает вид:

(1.5)

Подставим в (1.4) (1.5)

= 0

4) Оператор кинетической энергии

(1.6)

(1.7)

= 1,21эВ

11