03 семестр / Разное / Пример курсача / Задача 3

Задача №3

Атом водорода перешел в основное состояние, испустив квант света с длиной волны λ =97,2 нм. Определить: а) кратность вырождения исходного энергетического уровня; б) возможные значения момента импульса электрона в исходном состоянии.

Дано: Решение:

λ =97,2 нм

а)N-?

б)L-?

а) При переходе из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией излучается квант света. Энергия излученного кванта равна разности энергий верхнего и нижнего уровней:

(3.1)

Из второго закона Ньютона найдем силу притяжения электрона к ядру

(3.2)

где ε₀₌ 8,85 10^–12 Ф/м электрическая постоянная.

Полная энергия электрона складывается из кинетической и потенциальной :

E = K+U (3.3)

(3.4)

Из решения системы уравнений (3.1), (3.2) и (3.4) получаем выражение для энергии стационарных состояний атома

(3.5)

Формула (3.5) может быть также записана через длину волны :

где = 1,097 10⁷ м^–1 - постоянная Ридберга.

Из формулы (3.5) определим главное квантовое число верхнего уровня, учитывая , что для водорода Z=1

Состоянию с данной энергией соответствует несколько различных квантовых состояний, отличающихся квантовыми числами l, m, m_s . Число таких состояний и есть кратность вырождения. При заданном n квантовое число l принимает n различных значений (l = 0, 1, … , n-1). Каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений числа m (m = 0, ±1, ±2, …, ±l). Следовательно, разных наборов чисел l и m при данном n будет

Состояниям с заданными n, l, m соответствуют два разных состояния, определяемые спиновым квантовым числом m_s ( m_s = 1/2, m_s = -1/2). Следовательно, искомая

кратность вырождения

N=2∙16=32

б) Полный момент импульса электрона

где j – внутреннее квантовое число ( j = l + 1/2, l - 1/2) .

Так как для водорода l = 1 , то

Ответ: а) N=32

б)

16