10. Степенная функция.

Функция вида yx^k, где kдействительное число, называется степенной функцией с показателем k.

Свойства и график степенной функции существенным образом зависят от показателя k. Рассмотрим различные возможные варианты.

1. Показатель степени k2nчётное натуральное число.

В этом случае областью определения функции yx²ⁿ является множество R всех действительных чисел; множество значений­неотрицательные числа (y); функция является чётной ((-x)²ⁿx²ⁿ); функция убывающая на промежутке x и возрастающая на промежутке x.

На рисунке 1 приведены графики функции yx² и yx⁴.

y

yx⁴

y²

x Рисунок 1

2. Показатель степени k2n1 нечётное натуральное число.

Такая степенная функция yx^2n-1, где nнатуральное число, обладает следующими свойствами: область определениямножество R, множество значениймножество R, функция является нечётной, так как (x)^2n-1x²ⁿ1; функцияна всей действительной оси.

Графики, изображённые на рисунке 2, соответствует функциям yx³ и yx⁵.

(Отметим, что в частном случае при n=1 получаем функцию y=x с графиком биссектрисы первого и третьего квадрантов.)

Y

yx³

x

yx⁵

Рисунок 2

3. Показатель степени k-2n, где nнатуральное число.

В этом случае областью определения функции yx^-2 является множество R, кроме x; множеством значений-положительные числа y0; функция является чётной, так как ; функция возрастающая на промежутке x0 и убывающая на промежутке x0.

На рисунке 3 представлены графики функции y и y.

Y

y

y

1. x

-1 1

Рисунок 3

4. Показатель степени k(2n1), где nнатуральное число.

Областью определения такой функции yx^-(2n-1) является множество R, кроме x0; множеством её значений-множество R, кроме y=0; функция является убывающей на промежутке x0, x0.

На рисунке 4 приведены графики функций y и y

_y

y

y

1. _x

   

   

_{Рисунок 4}