- •Методические указания
- •Раздел 1. Введение.
- •Темы данного лекционного курса
- •Темы спецкурсов.
- •Домашние контрольные работы
- •Задание к домашней контрольной работе №1
- •Элементы теории погрешностей.
- •Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
- •Метод половинного деления.
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации.
- •Метод хорд и касательных.
- •Лабораторная работа № 1
- •Образец выполнения лабораторной работы № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Образец выполнения лабораторной работы № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •Лабораторная работа № 5
- •Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5
- •Лабораторная работа № 6
- •Образец выполнения лабораторной работы № 6
- •Лабораторная работа № 7
- •Образец выполнения лабораторной работы № 7
- •Лабораторная работа № 8
- •Образец выполнения лабораторной работы №8
- •Лабораторная работа № 9
- •Образец выполнения лабораторной работы №9
- •Лабораторная работа № 10
- •Образец выполнения лабораторной работы №10
- •Лабораторная работа № 11
- •Образец выполнения лабораторной работы №11
- •Лабораторная работа № 12
- •Образец выполнения лабораторной работы №12
- •Лабораторная работа № 13
- •Образец выполнения лабораторной работы №13
- •Лабораторная работа № 14
- •Образец выполнения лабораторной работы №14
- •Лабораторная работа № 15
- •Образец выполнения лабораторной работы №15
- •Лабораторная работа № 16
- •Образец выполнения лабораторной работы №16
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума
- •Список литературы
Лабораторная работа № 3
Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод хорд.
Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.
2) Уточнить корни уравнения методом хорд с точностью .
3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
.
Лабораторная работа № 4
Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).
Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.
2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью .
3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Лабораторная работа № 5
Тема: Решение нелинейных уравнений. Комбинированный метод хорд и касательных.
Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.
2) Уточнить корни уравнения данным методом с точностью .
3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5
(Приближенное решение нелинейных уравнений. Метод хорд, касательных (Ньютона), комбинированный метод).
I). Найти приближенные решения уравнения методом хорд с точностью .
Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .
Рассмотрим в качестве примера первый корень. Уточним его методом хорд. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке .
,
;
,; так как , то , .
Поскольку , то применяем формулу
,
где неподвижная точка , а начальная точка .Получим следующую таблицу
|
|
|
|
|
|
-2 |
-0,362357754 |
0,5 |
-0,398816882 |
|
|
-2,101183118 |
-0,043988132 |
0,398816882 |
-0,386900836 |
0,011916 |
0,101183 |
-2,113099164 |
-0,004912162 |
0,386900836 |
-0,38557473 |
0,001326 |
0,011916 |
-2,11442527 |
-0,000543307 |
0,38557473 |
-0,385428113 |
0,000147 |
0,001326 |
-2,114571887 |
-0,000060028 |
0,385428113 |
-0,385411914 |
1,62E-05 |
0,000147 |
-2,114588086 |
-0,000006632 |
0,385411914 |
-0,385410125 |
1,79E-06 |
1,62E-05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,5 |
-2 |
1,428246056 |
|
|
Где , ,.
Схема применения метода хорд.
Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для .
А) Тогда используя оценку погрешности
,
получим, .
Следовательно, приближенное значение корня равно .
Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.
Имеем , , . Округлим до . Получим , , .
Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .
Ответ: .
Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:
, .
Для нашего уравнения имеем , .
Тогда полагая , получим
.
Следовательно, приближенное значение корня равно .
Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.
Имеем , , . Округлим до . Получим , , .
Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Округлим до . Получим , , .
Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .
Ответ: .
-
Найти приближенные решения уравнения методом касательных (методом Ньютона) с точностью .
Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .
В качестве примера рассмотрим второй корень. Уточним его методом касательных. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке : , ; , ; так как , то ,.
Поскольку , то применяем формулу , .
|
|
|
|
|
0,5 |
1,229205172 |
4,099762141 |
0,2998235 |
|
0,200176466 |
0,096960102 |
4,099762141 |
0,0236502 |
0,2998235 |
0,176526289 |
0,016437048 |
4,099762141 |
0,0040093 |
0,0236502 |
0,17251702 |
0,002921590 |
4,099762141 |
0,0007126 |
0,0040093 |
0,171804396 |
0,000523415 |
4,099762141 |
0,0001277 |
0,0007126 |
0,171676726 |
0,000093904 |
4,099762141 |
0,0000229 |
0,0001277 |
0,171653822 |
0,000016851 |
4,099762141 |
0,0000041 |
0,0000229 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,5 |
-0,54030231 |
1,229205172 |
2,65376579 |
2,02516174 |
Схема применения метода касательных.
Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для .
А) Тогда используя оценку погрешности
,
получим , .
Следовательно, приближенное значение корня равно .
Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.
Имеем , , . Округлим до . Получим , , .
Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Округлим до . Получим , , . Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .
Ответ: .
Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:
, .
Для нашего уравнения имеем , .
Тогда полагая, получим
Следовательно, приближенное значение корня равно .
Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.
Имеем , , .
Округлим до . Получим , , .
Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .
Ответ: .
Замечание. Из сравнения результатов пунктов А) и Б) метода касательных видно, что оценка во втором пункте позволяет получить приближенный результат за меньшее число приближений и с большим числом верных цифр.
-
Найти приближенные решения уравнения комбинированным методом с точностью .
Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .
Рассмотрим второй корень в качестве прмера. Уточним его комбинированным методом. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке : , ; , ; , так как , то , .
Тогда применяем формулы
, , .
Процесс продолжаем до выполнения условия , тогда за приближенное значение корня можно взять значение
.
|
|
|
|
|
|
|
0,00000000 |
0,50000000 |
-0,54030231 |
-0,15267025 |
1,22920517 |
0,29982353 |
|
0,15267025 |
0,20017647 |
-0,06340140 |
-0,01878232 |
0,09696010 |
0,02823997 |
|
0,17145257 |
0,17193650 |
-0,00066012 |
-0,00019622 |
0,00096789 |
0,00028766 |
|
0,17164879 |
0,17164884 |
-0,00000007 |
-0,00000002 |
0,00000010 |
0,00000003 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,09976214 |
0,50000000 |
0,25000000 |
0,25000000 |
|
|
|
3,43343558 |
0,04750621 |
0,17642336 |
0,02375311 |
|
|
|
3,36472286 |
0,00048393 |
0,17169453 |
0,00024197 |
|
|
|
3,36401785 |
0,00000005 |
0,17164882 |
0,00000003 |
|
Схема применения комбинированного метода.
Найдем число верных знаков у приближенного корня . Так как , то получим . Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения . Найдем число верных знаков , .
Округлим до верных знаков , при этом погрешность округления будет , а погрешность приближенного решения .
Найдем число верных знаков , . Так как , то прекращаем округление.
Ответ: .