- •Методические указания
- •Раздел 1. Введение.
- •Темы данного лекционного курса
- •Темы спецкурсов.
- •Домашние контрольные работы
- •Задание к домашней контрольной работе №1
- •Элементы теории погрешностей.
- •Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
- •Метод половинного деления.
- •Метод хорд.
- •Метод Ньютона (метод касательных).
- •Метод итерации.
- •Метод хорд и касательных.
- •Лабораторная работа № 1
- •Образец выполнения лабораторной работы № 1
- •Лабораторная работа № 2
- •Образец выполнения лабораторной работы № 2
- •Лабораторная работа № 3
- •Лабораторная работа № 4
- •Лабораторная работа № 5
- •Образцы выполнения заданий лабораторных работ №3-5
- •Лабораторная работа № 6
- •Образец выполнения лабораторной работы № 6
- •Лабораторная работа № 7
- •Образец выполнения лабораторной работы № 7
- •Лабораторная работа № 8
- •Образец выполнения лабораторной работы №8
- •Лабораторная работа № 9
- •Образец выполнения лабораторной работы №9
- •Лабораторная работа № 10
- •Образец выполнения лабораторной работы №10
- •Лабораторная работа № 11
- •Образец выполнения лабораторной работы №11
- •Лабораторная работа № 12
- •Образец выполнения лабораторной работы №12
- •Лабораторная работа № 13
- •Образец выполнения лабораторной работы №13
- •Лабораторная работа № 14
- •Образец выполнения лабораторной работы №14
- •Лабораторная работа № 15
- •Образец выполнения лабораторной работы №15
- •Лабораторная работа № 16
- •Образец выполнения лабораторной работы №16
- •Раздел 3. Темы для вычислительного практикума
- •Список литературы
Темы спецкурсов.
Тема 1. Приближение функций.
Часть 1. Равномерное приближение.
§ 1.Постановка задачи. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.
§ 2. Наилучшее приближение функции многочленами.
§ 3. Многочлены Чебышева и Бернштейна.
Часть 2. Интерполирование функций.
§ 1. Интерполирование функции. Постановка задачи.
§ 2. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта.
§ 3. Интерполирование периодических функций тригонометрическими полиномами.
§ 4. Интерполирование с кратными узлами.
Часть 3. Приближение функций сплайнами.
§ 1. Постановка задачи. Интерполяционные кубические сплайны.
§ 2. Сглаживающие кубические сплайны.
§ 3. Сплайновые кривые. Кривые Безье.
§ 4. В - сплайновые и Бета - сплайновые кривые.
§ 5. Сплайновые поверхности.
Часть 4. Квадратичное приближение
§ 1. Приближение функций по методу наименьших квадратов.
§ 2. Квадратичное приближение периодических функций тригонометрическими многочленами.
§ 3. Квадратичное приближение методом Чебышева.
Тема 2. Методы минимизации функций.
Часть 1. Методы минимизации функций (МФ) одной переменной.
§ 1. Постановка задачи. Глобальные и локальные минимумы (максимумы). Унимодальные функции.
§ 2. Классический метод МФ. Метод деления отрезка пополам.
§ 3. Симметричные методы. Метод золотого сечения.
§ 4. Оптимальные методы. Метод Фибоначчи.
§ 5. Метод ломаных. Метод покрытий.
§ 6. Методы минимизации выпуклых функций. Метод касательных.
§ 7. Методы поиска глобального минимума. Метод парабол.
§ 8. Стохастический метод минимизации.
Часть 2. Методы минимизации функций многих переменных.
§ 1. Постановка задачи минимизации. Теорема Вейерштрасса.
§ 2. Классический метод.
§ 3. Градиентный метод. Методы проекции градиента и субградиента, условного градиента.
§ 4. Метод возможных направлений, сопряженных направлений.
§ 5. Методы Ньютона и Стеффенсена.
§ 6. Метод покоординатного спуска.
§ 7. Метод поиска глобального минимума.
§ 8. Метод модифицированных функций Лагранжа.
§ 9. Метод штрафных функций.
§ 10. Метод барьерных функций, нагруженных функций.
§ 11. Метод случайного поиска.
Тема 3.Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.
§ 1. Введение в дискретные методы решения задачи Коши. Вопросы реализации алгоритмов.
§ 2. Одношаговые методы типа Рунге-Кутты. Условия порядка. Способы оценки погрешностей одношаговых методов. Распространение одношаговых методов на системы ОДУ.
§ 3. Многошаговые методы и их реализация. Переменный порядок и шаг. Распространение многошаговых методов на системы ОДУ.
§ 4. Экстраполяционные методы.
§ 5. Явление жесткости и его влияние на выбор методов решения задачи Коши.
§ 6. Неявные одношаговые (типа Рунге-Кутты) и многошаговые методы. Вопросы их реализации.
§ 7. Структурный метод интегрирования систем ОДУ. Алгоритмы конструирования и реализации его расчетных схем.
§ 8. Современные численные методы интегрирования, наиболее распространенных в задачах моделирования, систем ОДУ специального вида
Раздел 2. Тематика лабораторных работ
Форма отчёта:
-
Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.
-
Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).
-
Текст программы.
-
Тестовый пример.
-
Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.
-
Анализ полученного результата.
Пояснения к отдельным пунктам отчета.
Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.
Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).
Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.
Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.
Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.
Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи.