Лабораторная работа №
«Застосування методу динамічного програмування для оптимізації температурного режиму секційної печі по мінімуму витрати палива»
1 Теоретические сведения
1.1 Метод динамического программирования
Особенностью метода динамического программирования, широко используемого при наличии ограничений, является то, что исследуемый процесс рассматривается в несколько этапов, на каждом из которых решается оптимизационная задача. Принцип, сформулированный для данного случая Р. Беллманом, сводится к следующему: каким бы не являлось начальное оптимальное управление, очередной его этап всегда должен быть также оптимальным относительно состояния, возникшего в результате предыдущего. Причем, чем больше количество этапов, тем значительнее выигрыш от управления, и, естественно, максимум этого выигрыша ожидается при бесконечной дискретизации процесса.
Для аналитического решения задачи методом динамического программирования необходимо воспользоваться уравнением Беллмана [1]:
где
–
выражение подынтегральной целевой
функции;
–
функционал задачи, соответствующий
максимальному (минимальному) значению
при известном оптимальном управлении;
–
система исходных дифференциальных
уравнений, описывающих состояние
оптимизируемого объекта.
Однако, поиск точных решений с помощью уравнения Беллмана встречает серьезные трудности. Поэтому прибегают к численному методу динамического программирования, и необходимый поиск осуществляют дискретно – по шагам. Оптимальной является такая комбинация управляющих воздействий по этим шагам, которая за весь рассматриваемый во времени процесс обеспечит перевод системы из заданного начального в конечное состояние при выбранном критерии оптимальности.
Согласно методу численного динамического программирования к первому этапу расчета приступают с известного. Так, если конечное состояние системы задано, а начальное – нет, поиск оптимального решения выполняется "обратным" порядком, т.е. с конца, а в противном случае – "прямым". Если задано и то и другое состояние, вся процедура поиска может идти: для начала процесса – прямым ходом, а для конца процесса – обратным. Затем оба решения "стыкуются".
Достоинством метода динамического программирования является то, что поиск оптимального решения задачи может осуществляться не на упрощенных (инженерных) моделях теплообмена в рабочем пространстве печи, а на моделях, приближающихся к реальным, а также то, что алгоритм поиска оптимального решения не изменяется с увеличением или уменьшением количества шагов, на которые разбивается весь процесс.
К недостаткам рассмотренного метода следует отнести отсутствие аналитических выражений для конечных результатов, из-за чего нельзя проанализировать в общем виде влияние различных факторов на эти результаты. Кроме того, поиск оптимального решения значительно усложняется при росте числа шагов.
Рассмотрим применения метода динамического программирования на примере оптимизации температурного режима секционной печи по минимуму расхода топлива при заданной производительности.