Самостоятельная работа № 1 «Механика и основы специальной теории относительности»

Цель самостоятельной работы: закрепление теоретических знаний по теме.

Вид самостоятельной работы: работа с конспектом лекций и учебной литературой.

Формы контроля: коллоквиум.

Вопросы к коллоквиуму:

Кинематика материальной точки.

Физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело.

Изотропность и однородность пространства и времени.

Скалярные и векторные величины.

Способы описания движения (координатный, векторный, естественный). Системы отсчета.

Перемещение, траектория, радиус-вектор, пройденный путь.

Скорость. Средняя, мгновенная, средняя путевая скорость.

Ускорение. Среднее и мгновенное ускорение.

Прямолинейное равномерное движение. Уравнение прямолинейного равномерного движения.

Прямолинейное неравномерное движение. Уравнение прямолинейного неравномерного движения.

Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорение.

Вращательное движение материальной точки и его характеристики (угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение).

Динамика поступательного движения

Масса и вес тел. Плотность.

Сила.

Законы Ньютона.

Импульс тела. Закон сохранения импульса.

Закон всемирного тяготения. Сила тяготения.

Гравитационная и инертная масса.

Законы Кеплера.

Статика.

Условия равновесия тел.

Простые машины и механизмы.

Работа и энергия.

Работа в механике. Работа, совершаемая постоянной силой. Работа, совершаемая переменной силой.

Кинетическая энергия и теорема о связи энергии и работы.

Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных энергий.

Закон сохранения энергии в механике.

Коэффициент полезного действия машин.

Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

Центральный и нецентральный удар.

Механика твердого тела.

Степени свободы; разложение движения на составляющие.

Момент инерции; вычисление момента инерции; моменты инерции простых тел.

Терема Гюйгенса-Штейнера.

Момент силы.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Уравнение движения твердого тела.

Работа и энергия движущихся тел.

Аналогия с поступательным движением.

Элементы специальной теории относительности (СТО).

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея для координат и скоростей..

Постулаты специальной тории относительности. Преобразования Лоренца. Следствия преобразований Лоренца. Релятивистская динамика: импульс, масса, работа, энергия.

Границы применимости классической механики.

Варианты заданий

Вариант 1.

1-а. Что называется моментом инерции точки, тела? В каких единицах он измеряется?

1-б. Сформулировать и записать теорему Штейнера.

1-в. Как изменится момент инерции тонкого кольца, если ось вращения перенести из центра масс на расстояние d = 2R (рис.1)?

2. Какую работу совершает сила тяжести, действующая на дождевую каплю массой 20 мг, при ее падении с высоты 2 км?

Рис.1.

3. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты 990 м. Выстрел произведен вертикально вверх. Определите начальную скорость пули. Средняя скорость звука в воздухе 330 м/с.

Вариант 2.

1-а. Что называется материальной точкой? Можно ли принять Землю за материальную точку при расчете:

а) расстояния от Земли до Луны; б) радиуса Земли; в) скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца

1-б. Какое движение материальной точки называется прямолинейным равнозамедленным? Запишите кинематическое уравнение равнозамедленного движения материальной точки в векторном виде и в проекции на ось х.

1-в. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью v₀ = 15 м/с. Через сколько времени t он окажется на высоте 3 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Объясните смысл двух ответов

2. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом = 30° к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью = 480 м/c. Масса платформы с орудием и снарядами = 18 т, масса снаряда = 60 кг

3. Материальная точка движется по окружности радиуса = 20 см равноускоренно с тангенциальным ускорением = 5.0 см/с². Через какое время после начала движения ее нормальное ускорение будет больше в = 2.0 раза?

Вариант 3.

1-а. Отношение каких величин определяет коэффициент трения?

1-б. Чем вызвана сила тяжести? Какое ускорение она сообщает телам?

1-в. Шар, подвешенный на нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости (см. рис.2). Какое направление имеет вектор равнодействующей всех приложенных к нему сил?

2. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнениями S₁ = At+ Bt² и S₂ = Сt+Дt²+Ft³. Определить относительную скорость U автомобилей.

3. Частица движется со скоростью V = c/3, где c – скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

Вариант 4.

1-а. Что называется средней скоростью, средней путевой скоростью, мгновенной скоростью? Как определяется абсолютное значение скорости?

1-б. Используя кинематические уравнения равномерного и равнопеременного движения, получить выражение зависимости скорости от времени для этих видов движения

1-в. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v₁ = 16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью v₂ = 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью v₃ = 5 км/ч. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

2. Два тела, массы которых равны m₁ = m₂ = m =245 г, подвешены на концах нити, перекинутой через блок. Какую массу должен иметь грузик, положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло путь 160 см за 4 с?

3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад/с². Определить радиус R колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса α = 7,5 м/с².

Вариант 5.

1-а. Что называется средним ускорением и мгновенным ускорением? Как определяется абсолютное значение ускорения?

1-б. Используя кинематические уравнения равномерного, равнопеременного и неравнопеременного движений, получить выражения зависимости ускорения от времени для этих видов движения.

1-в. Зависимость пройденного пути от времени задается уравнением:

s = 2 + 0.4 t + 0.1 t² + 0.03 t³.

Определите :1) Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с². 2) Среднее ускорение за этот промежуток времени.

2. Тело брошено вертикально вверх со скоростью V_o = 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на какой высоте h кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии

3. Шар массой = 1 кг движется со скоростью = 4 м/с и сталкивается с шаром массой = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью = 3 м/с. Каковы скорости и шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

Вариант 6.

1-а. Перечислить основные кинематические характеристики поступательного и вращательного движения, записать связь между ними.

1-б. Сформулировать и записать математически основной закон динамики вращательного движения.

1-в. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил (Рис.3), действующих на тело.

Рис.3.

2. Упряжка собак при движении саней по снегу может действовать с максимальной силой 0.5 кН. Какой массы сани с грузом может перемещать упряжка, если коэффициент трения = 0.1?

3. Масса движущегося электрона вдвое больше его массы покоя. Найти кинетическую энергию этого электрона.

Вариант 7.

1-а. Что такое импульс тела и импульс силы? Запишите формулы.

1-б. Сформулируйте закон сохранения импульса, запишите его математическое выражение.

1-в. Два тела массами m₁ = 1 кг и m₂=2m₁ движутся со скоростями v₁ = 3 м/с и v₂=2v₁ навстречу друг другу. После столкновения тела стали двигаться вместе. Найдите скорость тел после столкновения.

2. Камень брошен в горизонтальном направлении и через t₁ = 0.5 c численное значение скорости камня V₁ стало в n = 1.5 раза больше начального. Чему была равна начальная скорость камня V₀

3. В установке (см. рис.4) угол α наклонной плоскости с горизонтом равен 20º, массы тел m₁ = 200 г и m₂=150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определить ускорение a, с которым будут двигаться эти тела, если тело m₂ опускается.

Вариант 8.

1-а. Что называется моментом импульса тела относительно точки и относительно неподвижной оси?

1-б. Записать и сформулировать закон сохранения момента импульса. При каких условиях он выполняется?

1-в. Как изменится момент импульса тела, если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза?

2. Вагон массой m = 1 т спускается по канатной железной дороге с уклоном  = 15° к горизонту (см. рис.5). Принимая коэффициент трения ƒ = 0,05, определить силу натяжения каната T при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением V₀ = 2,5 м/с, а время торможения t = 6 с.

3. Камень брошен с высоты h = 28 м вертикально вверх с начальной скоростью v₀ = 8 м/с. Найдите скорость падения v камня на землю.

Вариант 9.

1-а. Какое движение называется вращательным? Как определяются угол поворота радиуса (угловой путь), угловая скорость и угловое ускорение при равнопеременном движении материальной точки по окружности?

1-б. Как связаны между собой:

а) угол поворота и длина дуги S, пройденная телом,

б) линейная и угловая скорости,

в) тангенциальное и угловое ускорения?

1-в. Точка движется по окружности с постоянной скоростью v = 50 см/с. Вектор скорости изменяет свое направлении на  = 30⁰ за время t = 2.0 с. Чему равна угловая скорость , центростремительное ускорение a_n и тангенциальное ускорение a_?

2. Ядро массой m = 5кг бросают под углом α = 60˚ к горизонту, затрачивая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить:

1) через какое время t ядро упадет на землю; 2) какое расстояние S по горизонтали оно пролетит.

3. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза?

Вариант 10.

1-а. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности (СТО).

1-б. Запишите формулы, по которым в СТО рассчитываются: полная энергия, энергия покоя, кинетическая энергия, масса и импульс тела,

1-в. Релятивистский электрон имел импульс p₁ = m₀c. Определить конечный импульс p₂ этого электрона (в единицах m₀c), если его энергия увеличилась в n =2 раза.

2. Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью v₀ = 10.8 м/с, достигло высшей точки подъема через 1 с. Каково было среднее значение силы сопротивления воздуха, действовавшей на тело во время подъема. Масса тела m = 108 г.

3. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной l = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции J колеса, если его скорость V в конце движения составляла 4,6 м/с.

Вариант 11.

1-а. Дать определение элементарной механической работы. Как определяется механическая работа.

а) для постоянной силы?

б) для переменной силы?

1-б. Запишите определение кинетической энергии и математическое выражение для поступательного и вращательного движения. Сформулировать и записать теорему о кинетической энергии.

1-в. Какую работу А нужно совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной l = 2 м и массой m = 100 кг поставить вертикально?

2. Автобус, масса которого с полной нагрузкой равна 15 т, движется так, что его проекция скорости на направление движения изменяется по закону:

v_x = 0.7 t.

Найдите силу тяги, если коэффициент трения  = 0.03.

3. Камень брошен под углом =30 к горизонту с начальной скоростью v_o=15 м/с с башни высотой h = 20 м. Найдите время полета камня t и расстояние S от основания башни до места падения камня на Землю.

Вариант 12.

1-а. В чем проявляется явление инерции? Сформулировать I закон Ньютона.

1-б. Записать II закон Ньютона в скалярной форме. Записать II закон Ньютона в векторной форме, когда на тело действует несколько сил.

1-в. Две силы F₁=3 H и F₂=4 H приложили к одной точке тела. Угол между векторами и равен 90. Чему равен модуль равнодействующей этих сил? Сделать чертеж.

2. Через сколько времени снаряд, выпущенный из ствола орудия под углом =45º к горизонту, окажется на высоте h = 40 м, если скорость снаряда при вылете из ствола v₀ = 200 м/с?

3. Два груза массами m₁ и m₂ связаны нитью, перекинутой через неподвижный невесомый блок (m₁ = 400 г, m₂ = 600 г). Какое расстояние пройдет груз m₂ после начала движения за первую секунду?

Вариант 13.

1-а. Что называется силой? Что такой равнодействующая всех сил, приложенных к телу?

1-б. Сформулируйте 1-й, 2-й и 3-й законы Ньютона.

1-в. На рис.6 представлены направления векторов скорости и ускорения мяча. Какое из представленных на рис.7 направлений имеет вектор равнодействующей всех сил, приложенных к мячу?

2. Полная кинетическая энергия T диска , катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию T₁ поступательного и T₂ вращательного движения диска

3. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с². Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки v; 2) пройденный точкой путь s.

Вариант 14.

1-а. Что называется кинетической энергией тела? Дать определение кинетической энергии и записать математическое выражение для неё:

а) для тела, движущегося поступательно;

б) для вращающегося тела

1-б. Сформулировать и записать теорему о кинетической энергии.

1-в. Автомобиль движется под уклон. При этом на некотором пути сила тяги автомобиля совершила работуА₁ = 100 кДж., а сила трения, действующая на него, А_тр. = -120 Дж. Возрастает или убывает кинетическая энергия автомобиля на этом пути? Ответ обоснуйте.

2. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью V₀=3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М = 10 Т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой m = 10 кг вылетает из ствола под углом  = 60º к горизонту. Определить скорость V снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в n = 2 раза

3. Движение точки задано уравнением , м, где = 12 м/c, = 2.0 м/с². Чему равна скорость точки через = 2.0 с после начала движения и ее средняя скорость в интервале времени от = 3.0 с до = 6.0 с?

Вариант 15.

1-а. Что называется периодом T и частотой вращения n материальной точки по окружности? Как они связаны между собой, записать их единицы измерения.

1-б. Что называется угловой скоростью? Как связаны между собой угловая скорость , линейная скорость v и период вращения материальной точки T? Записать.

1-в. Конец часовой стрелки за t = 20 мин прошел путь S = 2 см. Чему равна длина часовой стрелки?

2. Тело А массой M = 2 кг (см. рис.8) находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами B(m₁ =_0,5 кг) и C(m₂ = 0,3 кг). Считая нити и блоки неве­сомыми и пренебрегая силами трения, определить:

1) ускорение a, с которым будут двигаться эти тела;

2) разность сил натяжения нитей.

3. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Землей обладает импульсом Р = 160 кг·м/с и кинетической энергией Е_к = 500 Дж. Определите:

1) массу тела; 2) с какой начальной высоты тело падало

Вариант 16.

1-а. Сформулируйте определение импульса тела. Как направлен вектор импульса тела? Как движется тело, если его импульс не изменяется ни по модулю, ни по направлению?

1-б. Сформулируйте определение импульса силы. Как направлен импульс силы?

1-в. Шарик массы m, летящий горизонтально со скоростью v, упруго отскакивает от вертикальной стенки. Найдите модуль импульса силы, действующей на стенку при ударе.

2. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию диска через время t = 4 с после начала действия силы

3. Релятивистский электрон имел импульс p₁ = m₀c. Определить конечный импульс p₂ этого электрона (в единицах m₀c), если его энергия увеличилась в n =2 раза.

Вариант 17

1-а. Что называется материальной точкой?

В каких случаях можно считать материальными точками следующие объекты:

- футбольный мяч; автомобиль; майский жук; поезд длиной 100 м?

1-б. Какое движение материальной точки называется прямолинейным равноускоренным? Запишите кинематическое уравнение равноускоренного движения материальной точки в векторном виде и в проекции на ось х.

1-в. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с². Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки V; 2) пройденный точкой путь S.

2. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

3. При какой скорости кинетическая энергия частицы T равна ее энергии покоя Е₀?

Вариант 18.

1-а. Какое движение называется криволинейным? Чему равны скорость и ускорение при криволинейном движении?

1-б. Что такое тангенциальное и нормальное ускорения?

1-в. Материальная точка движется по окружности радиуса = 20 см равноускоренно с тангенциальным ускорением = 5.0 см/с². Через какое время после начала движения ее нормальное ускорение будет больше в = 2.0 раза

2. В деревянный шар массой = 8 кг, подвешенный на нити длиной = 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

3. Во сколько раз увеличивается продолжительность жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99% скорости света?

Вариант 19.

1-а. Что такое потенциальная энергия? Записать значения потенциальной энергии для:

а) тела, поднятого на высоту Н, много меньше радиуса Земли;

б) тела, поднятого на высоту Н, сравнимую с радиусом Земли;

в) упруго деформированного тела.

1-б. Сформулировать закон сохранения механической энергии.

1-в. Тело брошено под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Максимальная высота подъема оказалась равной 4v₀²/(9g), а скорость на этой высоте равна v = v₀/3. Выполняется ли при этом закон сохранения механической энергии? (Произведите соответствующий расчет).

2. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A+Bt²+Ct³ (В=2рад/ c², С=0,5рад/c³). Определить момент сил М для t= 3 с.

3. С каким ускорением a будет двигаться по горизонтальной поверхности тело массой m = 4 кг, если на него будет действовать сила F = 20 Н, направленная под углом  = 30⁰ к горизонту? Коэффициент трения тела о поверхность равен  = 0.2.

Вариант 20.

1-а. Сформулируйте принцип относительности Галилея. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности (постулаты Эйнштейна).

1-б. Как меняются линейные размеры тела и временные промежутки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?

1-в. Космический корабль пролетает мимо Вас со скоростью 0,8с. По Вашим измерениям его длина равна 90м. Чему равна длина корабля в состоянии покоя?

2. Тело 1 бросают вертикально вверх со скоростью v₀ = 10 м/c с поверхности Земли, а тело 2 начинает одновременно с первым падать без начальной скорости с высоты h₁ = 11 м. Найдите: 1) время t, через которое тела встретятся; 2) их относительную скорость v₁₂ в момент встречи.

3. Человек массой = 70 кг, бегущий со скоростью = 9 км/ч, догоняет тележку массой = 190 кг, движущуюся со скоростью = 3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с человеком? С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком, если человек до прыжка бежал навстречу тележке?