Варианты заданий

Вариант 1.

1. а) Гармонические колебания. Основные характеристики механических гармонических колебаний. Кинетическая, потенциальная и полная энергия механических гармонических колебаний.

б) Точка совершает гармонические колебания. Период колебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 25мм.

2. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А=5 см, если за время t = 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний  = /4.

3. Длина  электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определить максимальный заряд q_m на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре I_m = 1 А.

4. Чтобы помочь водителю вытащить автомобиль, застрявший в грязи, несколько человек раскачивают автомобиль, причем толчки, как правило, производятся по команде. Безразлично ли, через какие промежутки времени подавать команду? Почему?

Вариант 2.

1. а) Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение механических гармонических колебаний и его решение. Смещение, скорость и ускорение материальной точки при гармонических колебаниях и их графики. Упругие и квазиупругие силы. Энергия гармонического колебания.

б) Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А=0.1 м, периодом Т = 4 с и начальной фазой  = 0.

2. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: x₁ = A₁cos(t + ₁), x₂ = A₂cos(t + ₂), где А₁=1 см, ₁ = /3, А₂=2 см, ₂ = 5/6. Определить амплитуду и начальную фазу  результирующего колебания. Запишите уравнение этого колебания.

3. Уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в керосине, дано в виде: E = 200 cos (210⁸t – 1.3), В/м. Определить длину волны в воздухе и скорость ее распространения в керосине.

4. Спортсмен раскачивается при прыжках на батуте со строго определенной частотой. От чего зависит эта частота?

Вариант 3.

1. а) Идеальный колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение и его решение для заряда и тока. Зависимость частоты и периода колебаний от параметров контура. Сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения. Формула Томсона.

б) Дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре имеет вид: . Индуктивность контура равна 10 мкГн. Найти емкость контура и записать уравнение колебаний заряда, если в начальный момент времени сила тока максимальна и равна 10 мА.

2. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами: Т₁ = Т₂ = 1.5 с и амплитудами А₁ =А₂ = 2 см. Начальные фазы колебаний ₁ = /2 и ₂ = /3. Определить амплитуду и начальную фазу  результирующего колебания. Запишите уравнение этого колебания.

3. Летучая мышь приближается перпендикулярно к стене со скоростью 6м/с, издавая ультразвук частотой 45 кГц. Какие две частоты звука ₁ и ₂ слышит летучая мышь? Скорость звука в воздухе считать равной 340 м/с.

4. В комнате обычного размера эхо вовсе не наблюдается, хотя в ней имеется шесть отражающих поверхностей. Чем это объясняется?

Вариант 4.

1. а) Определение волны. Волновая поверхность, волновое поле, фронт волны, скорость распространения волн, длина волны, волновой вектор, волновое число. Уравнение плоской волны. Волновое уравнение и его решение. Продольные и поперечные волны.

б) Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту  колебаний, если минимальное расстояние x между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0.75 м.

2. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на ½ амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза  = 0.

3. Колебательный контур имеет индуктивность 0.01 Гн, емкость 4 мкФ и сопротивление 2 Ом. Определить логарифмический декремент затухания и добротность контура. Записать уравнение затухающих колебаний для заряда. Начальный заряд на пластинах конденсатора максимальный и равен 400 мКл.

4. Громкость воспринимаемого звука убывает пропорционально квадрату расстояния от источника звука. Студент, сидящий в пятом ряду, находится приблизительно втрое дальше от преподавателя, чем сидящий в первом ряду, но условия слышимости мало отличаются друг от друга. Почему?

Вариант 5.

1. а) Графическое изображение гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты. Биения.

б) Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: x₁ = A₁cos(t + ₁), x₂ = A₂cos(t + ₂), где А₁=2см, ₁ = /4, А₂=1 см, ₂ = 3/5. Определить амплитуду и начальную фазу  результирующего колебания. Запишите уравнение этого колебания.

2. Тело массой m = 5 кг совершает затухающие колебания. В течение времени t= 50 c тело потеряло 60% своей энергии. Определите коэффициент сопротивления среды r.

3. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости 2.0 мкФ получить частоту собственных колебаний, равную 1000 Гц?

4. Качели, состоящие из доски, подвешенной на двух веревках, имеют определенный период колебаний. Останется ли этот период неизменным, если на доску сядет человек? Будут ли одинаковыми периоды колебаний качелей, если качаться на них стоя? Сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 6.

1. а) Гармонические колебания. Основные характеристики механических гармонических колебаний. Кинетическая, потенциальная и полная энергия механических гармонических колебаний.

б) Шарик массой 0.01 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 0.03 м и частотой 10 с^-1. Начальная фаза колебаний равна нулю. Определите: а)полную энергию шарика; б) отношение потенциальной энергии к кинетической для момента времени, когда шарик удален от положения равновесия на 0.02 м.

2. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях: x₁ = A₁sint и x₂ = A₂cost, где А₁=1 см, А₂=2 см. Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту  и начальную фазу . Найти уравнение этого движения.

3. Колебательный контур состоит из из конденсатора емкостью 400 нФ и катушки индуктивностью 1 мГн. На какую длину волны настроен этот контур?

4. Звукопроводность стекла значительно выше, чем у воздуха. Однако, закрывая окно, мы значительно ослабляем слышимость уличного шума, а, закрывая вторую раму, почти полностью прекращаем доступ уличного шума в комнату. Как объяснить такое явление?

Вариант 7.

1. а) Определение волны. Уравнение плоской волны. Стоячие волны. Узлы и пучности стоячих волн.

б) Поплавок на волнах за 20 с совершил 30 колебаний, при этом на отрезке 20 м, перпендикулярном к направлению распространения волны наблюдатель насчитал 10 гребней. Найдите скорость распространения волны.

2. Уравнение движения точки дано в виде: x = 2sin(t/2 + /4) см. Найти период колебаний Т, максимальную скорость v_max и максимальное ускорение a_max точки.

3. Колебательный контур состоит из из конденсатора емкостью 200 нФ и катушки индуктивностью 2 мГн. Чему равно максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока равна 0.5 А? На какую длину волны настроен этот контур?

4. Как будет меняться период колебаний в контуре, если пластины конденсатора, включенного в этот контур, сближать между собой? Объясните.

Вариант 8.

1. а) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Уравнение траектории движущейся точки. Фигуры Лиссажу.

б) Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями: x = A₁sint, y = A₂cos(t + ), где A₁ = 2 см, A₂ = 1 см,  =  с^-1,  = 0.5 с. Найти уравнение траектории y = y(x) и построить ее, указав направление движения точки.

2. Математический маятник длиной l = 24.7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9.4 раза? Логарифмический коэффициент затухания равен  = 0.01.

3. Заряд конденсатора в колебательном контуре меняется по закону q = Acos(t), где А = 2 мкКл. Найдите энергию электрического поля конденсатора в момент времени, когда она равна энергии магнитного поля катушки. Индуктивность катушки равна 0.05 Гн.

4. Кто чаще взмахивает крылышками при полете – комар или муха? Почему?

Вариант 9.

1. а) Генерация электромагнитных волн. Свойства электромагнитных волн. Электромагнитные волны и уравнения Максвелла. Скорость распространения электромагнитных волн.

б) Колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны 300 м. Катушка индуктивности в контуре обладает индуктивностью 100 мкГн. Найдите электроемкость конденсатора в контуре.

2. Уравнение затухающих колебаний дано в виде x = 5e^-0.25tsin(t/2), м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени t₁ = 0, t₂ = T, t₃ = 2T, t₄ = 3T, t₅=4T.

3. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплитуду 0.25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны равна 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний; 2) максимальную скорость частиц воздуха.

4. Как на слух отличит, работает ли электродрель вхолостую или сверлит отверстие. Объясните.

Вариант 10.

1. а) Вынужденные электромагнитные колебания. Решение дифференциального уравнения для вынужденных колебаний. Резонанс тока и резонанс напряжения в последовательном колебательном контуре. Резонансные частоты.

б) Колебательный контур, подключенный к генератору, содержит резистор сопротивлением 5 Ом, катушку индуктивностью 5 Гн и конденсатор. Определите электроемкость конденсатора, при которой в контуре возникает резонанс при частоте 1 кГц. Чему равна сила тока в цепи при резонансе, если действующее напряжение на генераторе равно 220 В.

2. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки равно a_max = 49.3 см/с², период колебаний Т= 2с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени х₀=25мм.

3. Поплавок на волнах за время t = 20 с совершил N₁ = 30 колебаний, при этом на отрезке l = 20 м, перпендикулярном к направлению распространения волны наблюдатель насчитал N₂ = 10 гребней. Найдите скорость аспространения волны.

4. Почему в пустом зале звук громче и «раскатистей», чем в зале, заполненном публикой?

Вариант 11.

1. а) Затухающие механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, время релаксации. Энергия затухающих колебаний.

б) Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t= 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. (Длина маятника l = 1 м).

2. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны А₁ = 3 см, А₂ = 4 см. Найти амплитуду А результирующего колебания, если колебания совершаются во взаимно перпендикулярных направления.

3. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку., отраженный сигнал от которой дошел до него за 36 мкс. Считая, что диэлектрическая проницаемость воды равна 81, определить расстояние от локатора до подводной лодки.

4. Какую волну – продольную или поперечную – описывает уравнение:

=acos(t – kx)? Объясните.

Вариант 12.

1. а) Идеальный колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение и его решение для заряда и тока. Зависимость частоты и периода колебаний от параметров контура. Сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения. Формула Томсона.

б) Дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре имеет вид: . Индуктивность контура равна 10 мкГн. Найти емкость контура и записать уравнение колебаний заряда, если в начальный момент времени сила тока максимальна и равна 10 мА.

2. Точка, совершающая гармонические колебания, в некоторый момент времени имеет смещение 4·10^-2 м, скорость 0.05 м/с и ускорение 0.8 м/с². Определите: а) амплитуду, период колебаний; б) фазу колебаний в рассматриваемый момент времени; в) максимальные скорость и ускорение точки.

3. Найти смещение х от положения равновесия точки, отстоящей на источника колебаний на расстоянии l = /2, для момента времени t = T/6. Амплитуда колебаний А = 0.05 м.

4. Почему в газах могут распространяться только продольные механические волны, а в твердых телах – и продольные, и поперечные?

Вариант 13.

1. а) Идеальный колебательный контур. Энергия колебательного контура. Взаимное превращение полей и энергий при колебаниях в контуре.

б) В идеальном колебательном контуре заряд конденсатора меняется по закону q = q_maxcos(t), где q_max = 5 мкКл,  = 10⁸ рад/c. Определить энергию электрического поля конденсатора в момент времени t₁ = T/8 (T – период колебаний в контуре).

2. Шарик массой 0.01 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 0.03 м и частотой 10 с^-1. Начальная фаза колебаний равна нулю. Определите: а)полную энергию шарика; б) отношение потенциальной энергии к кинетической для момента времени, когда шарик удален от положения равновесия на 0.02 м.

3. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = 4 см, в момент времени t = T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

4. Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?

Вариант 14.

1. а) Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Характеристики затухающих колебаний: коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, время релаксации. Энергия затухающих колебаний.

б) Циклическая частота затухающих колебаний некоторой системы  = 65 рад/с, а ее добротность Q = 2. Определить собственную частоту ₀ этой системы.

2. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой =2Гц, в момент времени t = 0 проходит через положение, определяемое координатой х0 = 6 см, со скоростью v0 = 14 м/c. Определите амплитуду колебания.

3. Найти разность фаз  колебаний двух точек, отстоящих на расстоянии l = 2 м друг от друга, если длина волны  = 1 м.

4. Может ли звук распространяться в вакууме? Объясните, почему.

Вариант 15.

1. а) Вынужденные механические колебания. Решение дифференциального уравнения для вынужденных колебаний. Резонанс. Резонансные частоты.

б) Период затухающих колебаний в системе равен Т = 0.2 с, а отношение амплитуд первого и шестого колебаний равно 13. Определить резонансную частоту данной колебательной системы.

2. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: x = sin(2.5t), см. Найти смещение х от положения равновесия, скорость v и ускорение a точки, находящейся на расстоянии l = 20 м от источника колебаний для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна 100 м/с.

3. В электрическом контуре, индуктивность которого равна 210^-7 Гн, происходят незатухающие электромагнитные колебания. Амплитуды заряда и силы тока в контуре равны, соответственно, 210^-8 Кл и 1А. Найдите емкость конденсатора и длину волны, на которую настроен контур.

4. Колебания каких из приведенных ниже тел будут свободными:

а) игла швейной машины; б) струна музыкального инструмента; в) конец стрелки компаса; г) ветка дерева после того, как с нее слетела птица; д) чашки рычажных весов; е) поршень в цилиндре двигателя; ж) мембрана телефона при разговоре?

Вариант 16.

1. а) Механические волны. Интерференция механических волн. Дифракция механических волн. Принцип Гюйгенса.

б) Два звуковых сигнала частотой 40 Гц, синхронно излучаемые из двух различных точек, находящихся на одинаковом расстоянии l = 550 м от точки А на берегу озера. Один сигнал приходит от источника В, находящегося в воде, другой идет от источника С, расположенного в воздухе. Выясните, будут ли эти сигналы усиливать или ослаблять друг друга. Скорость звука в воде 1500 м/с, в воздухе – 340 м/с.

2. Начальная фаза гармонического колебания  = 0. При смещении точки от положения равновесия х₁ = 2.4 см скорость точки v₁ = 3 м/с, а при смещении х₂= 2.8 м ее скорость v₂ = 2 м/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

3. Катушка с индуктивностью 30 мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин 10 см2 каждая и расстоянием между ними 0.1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, если контур резонирует на длину волны 750 м.

4. Спортсмен раскачивается при прыжках на батуте со строго определенной частотой. От чего зависит эта частота?

Вариант 17.

1. а) Гармонический и ангармонический осциллятор. Математический, пружинный и физический маятники.

б) Небольшой грузик совершает колебания по закону: x = 2sin(t + 0.5), см. Определите период, начальную фазу колебаний, а также максимальные значения скорости (v_max) и ускорения(a_max) движения точки.

2. Уравнение гармонических колебаний материальной точки массой m = 10 г имеет вид: x = 5sin(t/5 + /4), см. Найти максимальную силу F_max, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

3. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: x = 10sin(t/2). Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний v = 300 м/с. Написать уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l = 600 м от источника колебаний.

4. Объясните, где человек слышит более громкий звук – в пучностях или узлах стоячей волны.

Вариант 18.

1. а) Генерация электромагнитных волн. Свойства электромагнитных волн. Электромагнитные волны и уравнения Максвелла. Скорость распространения электромагнитных волн.

б) Колебательный контур радиоприемника настроен на длину волны 300 м. Катушка индуктивности в контуре обладает индуктивностью 100 мкГн. Найдите электроемкость конденсатора в контуре.

2. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: t₁ = T/12, t₂ = T/8, t₃ = T/6. Начальная фаза колебаний  = 0.

3. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: x = 4sin(600t), см. Найти смещение х от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l=75см от источника колебаний для момента времени t = 0.01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна 300 м/с.

4. Объясните, почему в пустом зрительном зале звук громче и «раскатистей», чем в заполненном публикой.

Вариант 19.

1. а) Перенос энергии электромагнитными волнами. Вектор Умова - Пойтинга. Давление электромагнитных волн.

б) В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18.8 В/м. Определить интенсивность волны, т.е., среднюю энергию, приходящуюся за единицу времени на единицу площади, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны.

2. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени, когда смещение точки от положения равновесия составляет: х₁ = А/2, х₂ = А/4, х₃ = А. Начальная фаза колебаний  = 0. ( А – амплитуда колебаний).

3. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз  = 60, равна А = 6 см. Определите амплитуду А₂ второго колебания, если А₁ = 5 см.

4. Cтекло проводит звук гораздо лучше, чем воздух. Однако, закрывая окно, мы значительно ослабляем слышимость уличного шума. Как объяснить такое явление?

Вариант 20.

1. а) Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость. Когерентность. Интерференция и дифракция волн. Отражение и преломление волн.

б) Поплавок на волнах за время t = 20 с совершил N₁ = 30 колебаний, при этом на отрезке l = 20 м? перпендикулярном к направлению распространения волны наблюдатель насчитал N₂ = 10 гребней. Найдите скорость v распространения волны.

2. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия колебаний Е = 0.30 мкДж. На каком смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22.5 мкН?

3. В контуре, добротность которого равна 100 и собственная частота колебаний 50 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени, энергия, запасенная в контуре, уменьшится в два раза? Определить коэффициент затухания.

4. Чтобы раскачать качели с сидящим на них человеком до большого угла отклонения, не требуется значительного усилия. Почему же на то, чтобы отвести эти качели на тот же угол требуется значительно большее усилие?