4. Локальные алгоритмы

Алгоритмы, устанавливающие свойства элементов множества и использующие на каждом шаге при этом только информацию об окрестности элемента, называются локальными.

Применение локальных алгоритмов к задаче минимизации булевых функций основано на понятии окрестности k–го порядка максимального интервала или соответствующей ему простой импликанты.

Под окрестностью нулевого порядка для некоторого максимального интервала N_Кi (или для элементарной конъюнкции К_i) функции f(x₁, x₂, … , x_n) понимают сам этот интервал (или саму эту конъюнкцию). Записывают этот факт так S₀(N_Кi)={N_Кi}.

Окрестность 1-го порядка интервала N_Кi представляет множество всех максимальных интервалов, имеющих непустое пересечение с S₀(N_Кi), т.е. S₁(N_Кi)={S₀(N_Кi),N_Кj,…,N_Кm}, где N_Кj∩ S₀(N_Кi),…,N_Кm∩ S₀(N_Кi). В терминах конъюнкций окрестность 1–го порядка простой импликанты К_i представляет собой множество тех простых импликант функции f(x₁, x₂, … , x_n), которые имеют общий множитель с конъюнкцией К_i, или являются близкими к ней.

Окрестность 2-го порядка для N_Кi – это множество интервалов, пересекающихся с окрестностью 1-го порядка хотя бы в одной вершине. А в терминах конъюнкций – это множество близких к К_i конъюнкций, а также конъюнкций, близких к последним. Аналогично можно определить окрестность порядка k для интервала N_Кi – это множество всех максимальных интервалов функции f, имеющих непустое пересечение с окрестностью порядка (k–1) для N_Кi.

В локальных алгоритмах могут рассматриваться окрестности 1–го (алгоритм Куайна), 2–го (алгоритм регулярных точек) и k –го порядков (кольцевой алгоритм). Накопление информации об окрестностях простых импликант позволяет в дальнейшем проанализировать возможность удаления импликанты из СокрДНФ для получения минимальной ДНФ.

Рассмотрим построение окрестностей максимальных интервалов и простых импликант на примере.

Пусть функция трех переменных задана сокращенной ДНФ: . Это задание равносильно заданию функции сокращенным покрытием N_f: {(1,1,0),(1,1,1)}{(1,0,0),(1,1,0)}{(0,0,0),(1,0,0)}. Введем обозначения: К₁=ху, К₂=, К₃= и N_К1= {(1,1,0),(1,1,1)}, N_К2={(1,0,0),(1,1,0)}, N_К3={(0,0,0),(1,0,0)}. Тогда окрестности нулевого порядка для каждой простой импликанты и каждого максимального интервала совпадают с ними самими. Окрестность 1–го порядка импликанты К₁ есть множество {К₁, К₂}, а максимального интервала N_К1 – соответственно S₁(N_К1)= {N_К1, N_К2}.

S₁(К₂)= {К₂, К₁, К₃}, S₁(N_К2)= {N_К2, N_К1, N_К3};

S₁(К₃)= {К₃, К₂}, S₁(N_К2)= {N_К3, N_К2};

S₂(К₁)= {К₁, К₂, К₃}, S₂(N_К1)= {N_К1, N_К2, N_К3};

S₂(К₂)= {К₂, К₁, К₃}= S₁(К₂), S₂(N_К2)= {N_К2, N_К1, N_К3}= S₁(N_К2);

S₂(К₃)= {К₃, К₂, К₁}, S₂(N_К3)= {N_К3, N_К2, N_К1};

S₃(К₁)= {К₁, К₂, К₃}= S₂(К₁), S₃(N_К1)= {N_К1, N_К2, N_К3}= S₂(N_К1);

S₃(К₃)= {К₃, К₂, К₁}= S₂(К₃), S₃(N_К3)= {N_К3, N_К2, N_К1}= S₂(N_К3). И далее все окрестности более высоких порядков совпадают с уже най

4. Алгоритм Куайна

Входными данными для работы алгоритма является задание сокращенного покрытия функции или СокрДНФ. Алгоритм выполняется в два этапа.

1) На каждом шаге 1-го этапа для очередного максимального интервала (простой импликанты) строится окрестность 1-го порядка: S₁(N_Кi)={N_Кi, N_Кi1, N_Кi2,…,N_Кim}, где N_Кi1, N_Кi2,…,N_Кim – это максимальные интервалы функции f, имеющие непустое пересечение с интервалом N_Кi.

Затем проверяется включение N_Кi  N_Кi1  N_Кi2  … N_Кim.

Если это включение не имеет места, то конъюнкция K_i отмечается некоторым способом, как входящая во все МДНФ или как ядровая конъюнкция, а интервал N_Кi – как ядровой интервал. Объединение всех ядровых интервалов называется ядром сокращенного покрытия.

2) Пусть на первом этапе множество максимальных интервалов функции f разбилось на два подмножества: Я={Я₁,Я₂,…,Я_р} – все ядровые интервалы и В={В₁,В₂,…,В_q} – все остальные интервалы (или что то же самое – конъюнкции).

Для каждого интервала из множества В проверяется включение в ядро, т.е. В_iЯ₁  Я₂  …  Я_р. Об интервалах, для которых это включение выполняется, говорят, что они покрываются ядром. Соответствующие им простые импликанты не входят ни в одну МДНФ, они удаляются из СокрДНФ.

ДНФ, полученная в результате работы этого алгоритма, носит название ДНФ Куайна. Важным свойством этой ДНФ является её единственность для каждой функции алгебры логики, которая вытекает из её построения.

Пример.

Пусть функция задана в виде СокрДНФ:  = К₁ К₂ К₃

Или, что то же самое, в виде сокращенного покрытия:

N_f = {(0,0,0),(0,0,1)}  {(0,0,0),(1,0,0)}  {(1,0,0),(1,1,0)}= N₁  N₂  N₃, где N₁, N₂, N₃ – максимальные интервалы для f.

На первом этапе строим окрестности 1-го порядка для каждого максимального интервала

S₁(N₁)={N₁, N₂} и т.к. N₁N₂ N₁ – ядровой интервал;

S₁(N₂)={N₂, N₁, N₃} и т.к. N₂  N₁  N₃ N₂ – не ядровой интервал;

S₁(N₃)={N₃, N₂} и т.к. N₃N₂ N₃ – ядровой интервал;

На втором этапе имеем множество ядровых интервалов: Я={N₁, N₃} и один не ядровой интервал N₂, и, т.к. N₂  N₁  N₃, – покрывается ядром, то конъюнкцию, соответствующую интервалу N₂, можно удалить. В результате ДНФ Куайна имеет вид: f(x, y, z) =.

В данном случае ДНФ Куайна совпадает с МДНФ функции f.

Построение ДНФ Куайна может быть оформлено в виде таблицы Куайна. В этой таблице по горизонтали выписывают все элементарные конъюнкции СДНФ, а по вертикали – простые импликанты сокращенной ДНФ. На пересечении столбцов и строк проставляют единицы в тех местах, где импликанта «накрывает» элементарную конъюнкцию (т.е. все символы импликанты имеются в элементарной конъюнкции). Если в некотором столбце имеется только одна единица, то соответствующая импликанта является ядровой. Определив таким способом все ядровые конъюнкции, далее нетрудно выявить те импликанты, которые покрываются ядром, – все единицы таких импликант имеются среди единиц ядра. Удалив эти импликанты, получим ДНФ Куайна.

По такой таблице можно также построить и МДНФ. Заметим, что в каждом столбце может быть проставлено несколько единиц, в то время как достаточно иметь только одну. Поэтому избыточные единицы можно исключить. Выбор единиц выполняется из соображений минимальности общего числа букв и с тем, чтобы выбранное подмножество импликант (единиц) «накрывало» все элементарные конъюнкции исходной СДНФ (т.е. чтобы в каждом столбце была бы выбрана по крайней мере одна единица). При этом решений может быть несколько.

Пример:

Пусть функция задана в виде СДНФ: .

Построим её СокрДНФ:

Таблица 3

					xyz
	1		1
yz		1			1
			1	1
xy				1	1

Таблица Куайна этой функции представлена в табл. 25. Ввиду наличия единственной единицы в столбцах 1 и 2, конъюнкции и yz являются ядровыми. Таким образом, единицы ядра находятся в столбцах: 1, 2, 3 и 5 (в таблице 25 эти ячейки слегка затемнены). Ни одна из единиц 4–го столбца не покрывается ядром. Тем самым, обе остальные конъюнкции входят в ДНФ Куайна, которая в данном случае совпадает с Сокращенной ДНФ. Для построения МДНФ достаточно иметь одну единицу в 4–ом столбце, это равносильно удалению из СокрДНФ любой из конъюнкций: или xy. При этом получаются две минимальные ДНФ: и .