3.Операции над множествами

О бъединением двух множеств A и B (или теоретико-множественной суммой) называется множество, состоящее из всех элементов, являющихся элементами хотя бы одного из множеств A или B. Таким образом, .

Объединением системы множеств называется множество .

Для графического изображения операции объединения множеств используются диаграммы Эйлера-Венна, где множества представлены как замкнутые области, а результат операции показан заштрихованной частью (см. рис.1).

Пересечением двух множеств A и B (или теоретико-множественным произведением) называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. Таким образом, и .

Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения двух множеств показана на рис.2.

Пересечением системы множеств называется множество .

Множества называются дизъюнктными (или непересекающимися), если . Аналогично для системы множеств: множества дизъюнктны, если любые два из них дизъюнктны.

Относительным дополнением множества B до множества A (или теоретико-множественной разностью) называется множество тех элементов A, которые не являются элементами B, таким образом, A \ B и . Диаграмма на рис.3.

Очевидно, что если , то . И в общем случае произвольных множеств A и B имеет место равенство .

Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, таким образом, или ℧ \ A, где ℧ –универсальное множество. Диаграмма на рис.4.

Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение двух разностей A \ B и B \ A, т.е. A B= (A \ B)(B \ A). Диаграмма на рис.5.

Примеры:

1) Пусть , . Тогда ; ; ; ; .

2) Пусть - отрезок, - полуинтервал. Тогда ; ; ; ; ; ; .

3) Пусть А – множество прямоугольников, В – множество всех ромбов на плоскости. Тогда ={все прямоугольники и ромбы}; ={все квадраты}; А \ В={прямоугольники, за исключением квадратов}; В \ А={ромбы без квадратов}.

4) Пусть .

Рассмотрим систему множеств тогда ; .

5) Пусть .

Тогда ℝ², .

4.Свойства множественных операций

1) Для любого множества A – свойство «нуля».

2) Для любого множества A  A∪℧ = ℧, A∩℧ = A – свойство «единицы».

3) Для любого множества A – идемпотентность.

4) Для любых множеств А и В и – коммутативность.

5) Для любых множеств А, В и С и – ассоциативность.

6) Для любых множеств А, В и С  и – дистрибутивность объединения и пересечения. Для системы множеств и .

7) Для любого множества A – закон двойного отрицания.

8) а) Для любых множеств А и В и – законы де Моргана для абсолютного дополнения.

б) Для любых множеств А, В и С и – законы де Моргана для относительного дополнения.

в) Обобщенные законы де Моргана: пусть А – фиксированное множество и . Тогда и , т.е. дополнение к объединению равно пересечению дополнений, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений.

9) Если .

Если .

Если .

10) Для любых множеств А и В и – законы поглощения.

5. Декартово (прямое) произведение множеств

Декартовым произведением двух множеств А и В называют множество всех упорядоченных пар элементов из А и В. Таким образом, АВ={(a,b): аA и bВ}.

Обобщение на систему множеств: пусть {A₁,A₂,A₃,…,A_n} конечная система множеств, тогда A₁  A₂  A₃  … A_n ={(a₁,a₂,…,a_n): a_i  A_i , i=1,2,…,n}. Элементы (a₁,a₂,…,a_n) называются упорядоченными «энками» или кортежами длины n. Если множества A₁,A₂,A₃,…,A_n совпадают и равны A, тогда A₁  A₂  A₃  … A_n  обозначается Aⁿ , если A=ℝ  ℝℝ…ℝ⇋ℝⁿ – называется n‑мерным Евклидовым вещественным пространством, а элементы этого пространства (a₁,a₂,…,a_n) называются n‑мерными векторами или точками.

Примеры:

1) A={a, b, c}; B={0, 1} =>AB={(a,0), (a,1), (b,0), (b,1), (c,0), (c,1)}.

2) A=[-2; 2]; B=[1; 3] => AB={(x,y): -2 x  2,  1 y 3} – прямоугольник на вещественной плоскости.

3) A – круг радиуса r, B=[a, b] – отрезок. Тогда AB – цилиндр радиуса r и высотой (b‑a).

4) A и B – окружности с несовпадающими центрами, тогда AB – поверхность тора.

Множества A и B в прямом произведении АВ называют координатными осями, а элементы xА и yВ – проекциями вектора z=(x,y)АВ на координатные оси или координатами точки z (абсциссой и ординатой соответственно). Будем обозначать их пр_А z и пр_В z.

Пусть множество М АВ, проекцией множества М на ось А называется множество всех абсцисс векторов из М , проекцией множества М на ось В называется множество всех ординат векторов из М, т.о. пр_А М={ пр_А z: zМ}={xА: yВ и (x,y)М} и пр_В М={ пр_В z: zМ}={yВ: xА и (x,y)М}.

Для многомерного случая A₁  A₂   A₃  … A_n , каждое множество A_i называется i-той координатной осью. Проекция вектора z=(a₁, a₂,…, a_n) на i-тую координатную ось равна его i-той координате: пр_i z=a_i , где i=1,2,…,n. Если М A₁  A₂ … A_n , то пр_i М={ пр_i z: zМ}. Определены также проекции вектора z и множества векторов М на несколько координатных осей с номерами i₁, i₂,…,i_k: пр_i1, i2…ik z = ( a_i1, a_i2,…, a_ik) – k‑мерный вектор и пр_i1, i2…ik М = { пр_i1, i2…ik z: zМ } – множество k‑мерных векторов.

Пример:

Тройки вещественных чисел (а₁, а₂, а₃) можно рассматривать как точку в трехмерном пространстве (или вектор, проведенный в эту точку из начала координат). Тогда пр_i (а₁, а₂, а₃)=a_i, где i=1,2,3, пр_i,j (а₁, а₂, а₃)=(a_i, a_j), где i,j=1,2,3. См. рис.6.