Колебания математического маятника.

Математическим маятником называют тело подвешенное на нити, длина которой много больше размеров тела и угол отклонения нити от вертикали достаточно мал

Найдем силу, которая вызывает колебания тела. Из треугольника ОАВ

Sin  = (58)

При малом угле  дуга АЕ практически совпадает с хордой АЕ. Найдем проекцию возвращающей силы F на направление АЕ.

F = M g Sin()

учитывая что угол отклонения достаточно мал можно считать данную проекцию равной по модулю проекция на ось X Тогда формула для возвращающей силы принимает вид

F = x

Т.е. возвращающая сила пропорциональна смещению тела. Условия а) и б) выполняются, следовательно колебания математического маятника будут гармоническими. Исходя из того, что уравнения, описывающие гармонические колебания имеют одинаковый вид, для нахождения периода колебаний математического маятника воспользуемся формулой периода колебаний тела на пружине.

Сравниваем выражения для возвращающей силы

F = k X и F = x

Заменяем коэффициент k на и подставляя в формулу (5.5) получаем

T = 2 (5.9)

Из этой формулы следует, что период колебаний математического маятника не зависит от массы тела и зависит лишь от длины нити.

Принцип проведенной замены, показанный выше вполне правомочен и может использоваться при решении конкретных задач. Для его применения необходимо лишь доказать, что условия а) и б) выполняются.

задание: По какой формуле вычисляется период колебаний тела, подвешенного на пружине в поле тяжести Земли?

Приведенные выше примеры являются примерами свободных колебательных систем.

Рассмотрим ситуацию, когда на тело в момент прохождения им положения равновесия действует внешняя сила, направленная в сторону движения тела. Таким образом происходит периодическая подпитка колебательной системы энергией. Если эта энергия больше чем энергия, теряемая системой, то по закону сохранения энергии амплитуда колебаний начинает увеличиваться. Причем тем больше, чем точнее по времени прикладывать силу. С количественной точки зрения это означает, что частота приложения внешней силы приближается по величине к собственной частоте колебательной системы. Когда оба их значения будут равны амплитуда колебаний достигнет своего максимально возможного значения.

Явление резкого увеличения амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом.

Надо заметить, что резонанс наступает лишь при совпадении частот. Его наступление не зависит от величины внешней силы. Главное чтобы действие этой силы преобладало над действием сил трения и т.д. Отсюда следует, что резонанс может приносить не только пользу, но и вред.

Механические волны

До сих пор рассматривались колебания в отдельных колебательных системах. Такие системы встречаются в природе реже, чем системы связанные друг с другом. Повседневные наблюдения убеждают в том, что колебания могут передаваться от одной системы к другой, естественно в случае если эти системы могут взаимодействовать друг с другом. Например колебания громкоговорителя передаются барабанной перепонке

Процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени называется волновым процессом или просто волной.

Любым механическим волнам для их существования требуется среда (газ, жидкость или твердое тело), потому что при их распространении передаются колебания от одной частицы к другой. Но не для всех волн данное условие необходимо. Свет представляет собой электромагнитную волну, которая может распространяться в вакууме, т.е. там, где среды в обычном понимании нет.

Движение каждой частицы среды, до которой дошло возмущение представляет собой колебание около положения равновесия.

В случае если источник колебаний (любой материальный объект) колеблется по гармоническому закону естественно предположить, что и каждая частица среды так же будет колебаться по тому же закону.

На рисунке представлена зависимость между смещением У частиц, участвующих в волновом процессе и расстоянием Х этих частиц от источника колебаний. Хотя данный график внешне похож на график одного гармонического колебания, но они различны по существу. График волны дает зависимость смешения всех точек среды от расстояния до источника в данный момент времени, а график колебаний - зависимость смещения данной частицы от времени.

Минимальное расстояние между частицами, которые колеблются совершенно одинаково называют длиной волны - 

Учитывая, что волна распространяется в однородной среде с постоянной конечной скоростью получаем формулу для длины волны

= V T (5.10)

где Т - период - время, за которое передняя часть волны (фронт волны) передвинется на расстояние равное длине волны.

V - скорость волны - скорость ее фронта.

Учитывая связь периода и частоты получаем

V =   (5.11)

В природе существуют два основных вида волн: поперечные и продольные.

Волны называются поперечными если частицы среды колеблются в направлении перпендикулярном скорости распространении волны.

Примером такой волны служат волны на поверхности жидкости Частицы поверхности колеблются лишь по вертикали тогда как фронт волны распространяется горизонтально.

Волны называются продольными если частицы среды колеблются в направлении распространении волны

Примером такой волны служит система шариков, связанных друг с другом пружинами.

Таким образом для существования механической волны необходимы среда и источник колебаний. Скорость волны будет тем больше, чем больше сила взаимодействия частиц и чем меньше расстояние между ними, так как в этом случае взаимодействие будет передаваться между частицами быстрее и значит скорость будет больше.

Все волны независимо от их природы и вида обладают одинаковыми свойствами:

1. При волновом процессе происходит передача энергии без переноса вещества.

2. Волны могут накладываться друг на друга. При этом может происходить как их усиление (увеличение амплитуды) так и ослабление (уменьшение амплитуды вплоть до полного отсутствия колебаний частиц). Это свойство волн называется интерференцией.

пример: Рассмотрим поведение одной частицы поверхности жидкости. Источники колебаний располагаются в точках А и В. Допустим, что от колебаний первого источника частица смещается в некоторый момент времени на высоту А1 от положения равновесия, а от второго источника на высоту А2. Тогда при одновременном колебании источников координата частицы станет равной А = А1 + А2. Если же от действия одного из источников частица находится в крайнем нижнем положении, то суммарное действие источников приведет к уменьшению амплитуды, т.е. к ослаблению волны.

3. Волны могут огибать препятствия, размеры которого меньше или сравнимы с длиной волны. Такое свойство волн называется дифракцией 

пример: Если на поверхности жидкости на пути следования волны находится камыш, то волновая поверхность практически не изменяется, волна как бы его просто не замечает. Если же препятствием будет являться маленький островок, то за ним образуется тень, т.е. достаточная спокойная поверхность.

4. Отражение волн состоит в том, что если волна переходит из одной среды в другую то часть волны отражается от границы раздела сред, а часть проходит во вторую среду. Естественно обе волны будут ослаблены по сравнению с первой и скорости их будут различны .

5. Преломление волн. Если волна падает на границу раздела двух сред под углом , то преломленная волна будет распространяться под другим углом нежели падающая.

Тот факт что все без исключения волны обладают этими (и другими) свойствами приводит к важным практическим выводам. Например, обнаружено некоторое неизвестное до сих пор излучение или процесс. Для того чтобы отнести его к категории волн необходимо лишь доказать существование перечисленных выше свойств. Наличие этих свойств будет однозначно говорить об открытии нового типа волн.

ЗВУК

Это продольная механическая волна, частота которой лежит в пределах слышимости человека от 16 до 20000 Гц. Колебательными системами являются молекулы или атомы вещества. За передачу взаимодействия между ними отвечает электрическая сила притяжения и отталкивания. Моделью звуковой волны является система шариков рис 8. Где шарики представляют собой молекулы, а пружины электрические силы (в грубом приближении).

Чем плотнее среда тем больше скорость звука, так как в этом случае на передачу взаимодействия между молекулами требуется меньше времени.

Скорость звука в воздухе при температуре 0 С равна 334 м/с.

Излучение звуковой волны сильно зависит от формы источника звука.

пример: Отдельно взятая струна практически не излучает громкого и насыщенного звука. Она отвечает лишь за его частоту. Функцию излучателя выполняет сам корпус гитары или другого инструмента, выступающего в роли резонатора.

Одной из основных характеристик звука является громкость, Измеряемая в Беллах. Человек воспринимает громкость от 0 (еле слышный шепот) до 130 децибел (дБ) - звук от близкого раската грома. Последствия громкого звука могут накапливаться в организме человека - возникает так называемая "шумовая болезнь". Нормальная громкость - 35 дБ.

Высота звука зависит от его частоты. Чем больше частота тем больше высота звука и наоборот.

Со звуком связанно еще одно интересное явление - эхо. Это явление возникает из - за многократного отражения звуковых волн от препятствий и дальнейшего их усиления вследствие интерференции.

Если частота звуковой волны меньше 16 Гц, то ее называют инфразвуком.

Если частота больше 20000 Гц - то ультразвуком.

41