11.Средняя арифметическая. Вывод формулы простой и взвешенных средних арифметических: средняя хронологическая. Примеры расчета.
Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.
Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.
Формула средней арифметической (простой) имеет вид
(5.2)
где n - численность совокупности.
При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид
(5.3)
Средняя хронологическая.
Средней хронологической называется величина, исчисленная из абсолютных величин, образующих ряды динамики.
Ее расчет производится по формуле:
Средними хронологическими величинами пользуются для характеристики средних уровней явлений за определенные промежутки времени.
12. Средние геометрическая и квадратическая. Примеры их расчета и использования на практике.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т. е. характеризует средний коэффициент роста.
В контрольных по статистике она исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений — вариантов признака Х по формуле:
где П — оператор умножения, знак произведения;
n — число вариантов.
средняя квадратичная применяется, например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.
Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.
Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:
где f — признак веса.
13. Мода и медиана, как показатели статистического ряда. Правила их расчета. Примеры практического применения.
Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.
Мода — это наиболее часто встречающийся
вариант ряда. Мода применяется, например,
при определении размера одежды, обуви,
пользующейся наибольшим спросом у
покупателей. Модой для дискретного ряда
является варианта, обладающая наибольшей
частотой. При вычислении моды для
интервального вариационного ряда
необходимо сначала определить модальный
интервал (по максимальной частоте), а
затем — значение модальной величины
признака по формуле:
где:
-
— значение моды
-
- нижняя граница модального интервала
-
— величина интервала
-
— частота модального интервала
-
— частота интервала, предшествующего модальному
-
— частота интервала, следующего за модальным
Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.
Для определения медианы в
дискретном ряду при наличии частот
сначала вычисляют полусумму частот
, а затем определяют, какое значение
варианта приходится на нее. (Если
отсортированный ряд содержит нечетное
число признаков, то номер медианы
вычисляют по формуле: Ме
= (n(число признаков в совокупности) +
1)/2,
случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).
При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:
где:
-
— искомая медиана
-
— нижняя граница интервала, который содержит медиану
-
— величина интервала
-
— сумма частот или число членов ряда
-
сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному
-
— частота медианного интервала