8. Элементы алгебры высказываний. Примеры использования алгебры

высказываний в информатике

Для формального представления синтаксических конструкций естественного языка в информатике используют элементы одной из математических дисциплин — алгебры высказываний. Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно

сказать истинно оно или ложно. Высказываниями не являются вопросительные и восклицательные предложения, например, «С Новым Годом!». Истинностное значение высказывания обозначают соответственно «1» (или «И») — истина, «0» (или

«Л») — ложь. Высказывания будем обозначать строчными латинскими бук-

вами: A, B, C…Естественный язык содержит различные языковые конструкции (связки), которые можно формализовать при помощи операций над высказываниями.

I. Отрицанием высказывания A называется высказывание A , которое ложно, если высказывание A истинно и истинно, если высказывание A ложно. На естественном языке операция соответствует частице «не».

II. Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний A и B называется высказывание A^B , которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. На естественном языке операция соответствует связке «И».

Пример: A: «Число 4 четное» (1), B : «Число 3 четное» (0), A^B: «Число 4 четное и число 3 четное» (0).

III. Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний A и B называется высказывание A v B, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания A и B На естественном языке операция соответствует связке «ИЛИ».

Пример: A: «Число 4 четное» (1), B : «Число 3 четное» (0), А v В : «Число 4 четное или число 3 четное» (1).

IV. Импликацией двух высказываний A и B называется высказывании А -> В , которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание A истинно, а B ложно. На естественном языке операция соответствует связке «ЕСЛИ…, ТО…»

Пример: A: «Число 4 четное» (1), B : «Число 3 четное» (0), А -> В: «Если число 4 четное, то число 3 четное» (0).

V. Эквивалентностью двух высказываний A и B называется высказывание А <-> В , которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны. На естественном языке операция соответствует связкам

«…РАВНОСИЛЬНО…», «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…».

Пример: A: «Число 4 четное» (1), B : «Число 3 четное» (0), А В  :

«Число 4 четное тогда и только тогда, когда число 3 четное» (0).

основные функциональные элементы ЭВМ: триггер и сумматор.

Триггер —функциональное устройство, которое может принять и выдать один двоичный бит и сохранять его сколь угодно долго. Триггеры объединяют в функциональные узлы, выполняющие определенную функцию — регистры.

Сумматор — функциональное устройство, реализующее сложение двух целых чисел. Сумматоры объединяются в группы и служат для выполнения сложения многоразрядных чисел.

9. Основные структуры данных

Для упрощения автоматизации обработки данных применяют упорядочивание данных в определенные структуры:

Линейная структура данных (список) — это упорядоченная структура, в которой адрес элемента данных однозначно определяется его номером (индексом).

Пример: список учебной группы, каждый студент определяется своим номером в списке.

Как правило, в списках новый элемент начинается с новой строки. Если элементы расположены в строчку, то между элементами вносится раздели- тельный знак:

a1

p

a2

p

…

р

аn

Поиск осуществляется по разделителям (например, для нахождения пятого элемента нужно отсчитать четыре разделителя).

Если элементы списка одной длины, то говорят о векторе данных. В этом случае разделители не требуются. Если d - длина одного элемента, то начало элемента с номером n определяется как d(n-1).

Табличная структура данных — это упорядоченная структура, в которой адрес элемента данных однозначно определяется двумя числами: номером строки и номером столбца, на пересечении которых находится элемент.

Если элементы располагаются в строчку, необходимо ввести два разделительных знака: знак разделения между строками и между элементами строк.

Если элементы таблицы одной длины, то говорят о матрице данных. В этом случае разделители не требуются. Если d- длина одного элемента, то адрес начала элемента, находящегося в строке m и столбце n будет

d[ N(m-1)+(n-1)],

где N - количество столбцов.

Таблица может быть трехмерной (положение элемента определяется тремя числами) или, в общем случае,n -мерной.

Иерархическая структура - представляет совокупность элементов, связанных между собой по определенным правилам. Нерегулярные данные, которые трудно представить в виде списка или таблицы, часто представляют в виде иерархических структур. С подобными структурами мы очень хорошо знакомы по обыденной жизни. Иерархическую структуру имеет система почтовых адресов. Подобные структуры также широко применяют в научных систематизациях и всевозможных классификациях. Смотрите рисунок ниже.

В иерархической структуре адрес каждого элемента определяется путем доступа (маршрутом), ведущим от вершины структуры к данному элементу. Вот, например, как выглядит путь доступа к команде, запускающей программу Калькулятор (стандартная программа компьютеров, работающих в операционной системе Windows):

Пуск > Программы > Стандартные > Калькулятор.