4. Оценка качества уравнения регрессии

Качество модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблю­даемым данным проводится на основе анализа остатков.

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение y в каждом наблюдении на две составляющих - и .

Остаток представляет собой отклонение фактического зна­чения зависимой переменной от значения данной перемен­ной, полученное расчетным путем: ().

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеива­ние точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от тео­ретических (). Величина этих отклонений и лежит в осно­ве расчета показателей качества (адекватности) уравнения регрессии.

При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа, согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложе­на на две составляющие — объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии:

(1)

где - значения y, вычисленные по модели .

Разделив правую и левую часть выражения (1) на

,

получим

.

Коэффициент детерминации определяется следующим образом:

.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находя­щегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, ка­кая доля вариации признака y учтена в модели и обусловлена влия­нием на него факторов.

Чем ближе к 1, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R. Данный коэффициент является универсальным, так как он отра­жает тесноту связи и точность модели, а также может использовать­ся при любой форме связи переменных.

При построении однофакторной линейной модели он равен коэффициенту линейной корреляции .

Качество полученного уравнения регрессии оценивают также с помощью средней относительной ошибки аппроксимации (приближения), которая рассчитывается по формуле:

.

Допустимый предел значений этого показателя составляет не более 8-10%.

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.

Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипо­тезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравне­ния — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью критерия Фишера, который также называется F-критерием. Для парной регрессии формула F-критерия выглядит следующим образом:

.

Если рассчитанное по вышеприведенной формуле значение F-критерия больше табличного значения, то уравнение регрессии признается статистически значимым. Табличное значение F-критерия берется из специальных статистических таблиц, которые есть в любом учебнике по эконометрике. Табличное значение F-критерия выбирается исходя из уровня значимости (такой уровень значимости принимается для экономических расчетов) и числа степеней свободы k₁=1 и k₂=n-2 (для парной регрессии).