Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тексты лекций ММЭ (вопросы 16-20).doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
454.66 Кб
Скачать

3. Сущность регрессионного анализа. Уравнение регрессии. Метод наименьших квадратов

Регрессионный анализ заключается в определении аналитической формы связи, в которой изменение результативного признака обусловлено влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на результативный признак, принимается за постоянные и средние значения. До регрессионного анализа следует проводить корреляционный анализ, в процессе которого оценивается степень тесноты статистической связи между исследуемыми переменны­ми. От степени тесноты связи зависит прогностическая сила регрессион­ной модели.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака от факторных признаков.

Уравнение регрессии или модель связи социально-экономических явлений выражается функцией. Различают парную () и множественную () регрессии.

Парная регрессий описывает связь между двумя признаками (результативным и факторным). Множественная регрессия описывает связь между результативным признаком и двумя и более факторными признаками.

Изучение модели парной регрессии является базовым во всем курсе эконометрики. Обычно она применяется в том случае, когда из всего круга факторов, влияющих на результат, можно выделить один, оказывающий наиболее сильное воздействие. Он и берется в качестве объясняющей переменной х.

Представим, что есть два ряда данных:

x1

x2

x3

хn

y1

y2

y3

yn

где n – число наблюдений.

Каждое из наблюдений характеризуется двумя переменными xi, yi. Число наблюдений n должно в шесть-семь раз превышать число параметров при переменной х в уравнении регрессии. Таким образом, для изучения линейной регрессии число наблюдений должно быть не менее семи.

В парной линейной регрессии связь между переменными определяется следующим образом:

,

где у – зависимая (объясняемая) переменная, реальная, фактическая, эмпирическая;

х – независимая (объясняющая) переменная;

– зависимая переменная, рассчитанная по уравнению регрессии, теоретическая;

а, b – константы, параметры уравнения линейной регрессии;

– случайная компонента, возмущение.

Каждую пару наблюдений (хi;yi) можно представить в виде точки на плоскости. Такое графическое изображение наблюдений называется полем корреляции или диаграммой рассеяния. Выбранный тип функции (прямая, парабола, гипербола и т.д.) должен проходить через большее количество точек или как можно ближе к ним.

В каждом из наблюдений величину случайной компоненты можно определить как разность между фактическим значением результата и рассчитанным по уравнению регрессии:

.

Если на графике все точки совпадут с линией регрессии, то между результативным признаком у и фактором х существует функциональная зависимость, и выполняется равенство для каждого наблюдения i=1,2,…,n.

Данные, которые описывают экономические процессы, не могут иметь строгую функциональную зависимость, поскольку на результативный признак в экономике влияет большое количество факторов и случайных процессов, и все они не могут быть учтены в модели.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен с помощью следующих методов:

- графического (с помощью построения поля корреляции и подбора функции, график которой проходит через большее количество точек или как можно ближе к ним);

- аналитического (исходя из экономической теории изучаемой взаимосвязи и опыта подобных предыдущих исследований);

- экспериментального (посредством перебора нескольких функций, построения нескольких уравнений регрессии и выбора того уравнения, при котором остаточная дисперсия минимальна).

После того как выбран вид уравнения регрессии (прямая линия, парабола, гипербола и т.д.) находят значения параметров модели, для линейной регрессии – это а0 и а1. Для этого используют метод наименьших квадратов. В основу этого метода положена идея минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений у от их выравненных (теоретических) значений , т.е.

,

где уi – фактические значения результативного признака;

– теоретические значения результативного признака, найденные по уравнению регрессии.

Если регрессия линейная , то

.

Рассматривая сумму S в качестве функции параметров а0 и а1 (значения хi и уi в функции S являются постоянными величинами), определяют частные производные по а0 и а1 и приравнивают их к нулю, поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю:

Так, если связь между признаками линейная, то система уравнений для нахождения параметров уравнения регрессии примет вид:

После решения системы относительно а0 и а1 находят уравнение регрессии .

Если связь между признаками у и х описывается уравнением параболы , то система нормальных уравнений примет вид:

Если связь описывается уравнением гиперболы , система нормальных уравнений следующая:

Вернемся к парной линейной регрессии. Решая систему уравнений относительно а и b, находят значения указанных параметров. Можно также воспользоваться следующими формулами для определения параметров а и b:

и .

В Excel параметры а и b можно вычислить с помощью функции =ЛИНЕЙН, задав известные значения у и значения х.

Правильность расчетов параметров уравнения регрессии может быть проверена с помощью сравнения сумм:

.

После определения параметров уравнения регрессии а и b записывают уравнение в окончательном виде, например .

В уравнении линейной регрессии параметр а (свободный член) с математической точки зрения определяет среднее значение у, которое складывается под влиянием всех факторов, кроме х . С экономической точки зрения параметр а чаще всего не интерпретируется, поскольку чаще всего значение признака х не может быть равно нулю.

Параметр b (коэффициент при х) определяет, на сколько в среднем изменится у при изменении факторного признака на единицу.

Чем больше величина коэффициента регрессии b, тем значительнее влияние данного факторного признака на моделируемый результативный.

Знак коэффициента регрессии говорит о характере влияния фактора на результативный признак.

Экономическая интерпретация параметров линейного уравнения регрессии дополняется расчетом коэффициента эластичности:

.

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов в среднем изменится у при изменении фактора х на 1%.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.