Задание 4а.
По данной матрице Ак=А3 (взвешенному графу) найти минимальный каркас и значение критерия алгоритмом «Краскала».
Алгоритм решения:
1)Выбираем ребро с минимальным весом.
2)Добавляем минимальное ребро, которое не образует цикла с предыдущими и т.д.
За n-1 построим искомый каркас.
Решение.
|
3-10 |
2-11 |
14-15 |
4-9 |
6-7 |
1-12 |
2-3 |
5-6 |
13-14 |
1-2 |
|
-12 |
-10 |
-7 |
-5 |
-1 |
-1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
12-13 |
10-11 |
9-10 |
15-16 |
4-5 |
7-8 |
8-9 |
11-12 |
16-1 |
3-4 |
|
3 |
4 |
5 |
5 |
6 |
8 |
8 |
9 |
10 |
10 |
1. Выбираем ребро 3-10 с минимальным весом -12:
|
2. Выбираем ребро 2-11 с весом -10:
|
3. Выбираем ребро 14-15 с весом -7:
|
|
4. Выбираем ребро 4-9 с весом -5:
6. Выбираем ребро 1-12 с весом -1:
8. Выбираем ребро 5-6 с весом 2:
10. Выбираем ребро 1-2 с весом 2:
|
5. Выбираем ребро 6-7 с весом -1:
7. Выбираем ребро 2-3 с весом 1
9. Выбираем ребро 13-14 с весом 2
11. Выбираем ребро 12-13 с весом 3
|
|
12. Выбираем ребро 9-10 с весом 5
|
13. Выбираем ребро 15-16 с весом 5:
|
|
14. Выбираем ребро 4-5 с весом 6:
|
15. Выбираем ребро 7-8 с весом 8:
|
|
|
|
Значением критерия является сумма весов ребер каркаса.
∑=-12-10-7-5-1-1+1+2+2+2+3+5+5+6+8=-2
Ответ: значение критерия равно -2.
Задание 6.
Выяснить является ли знаковый граф (без весов), заданный матрицей
,
сбалансированным, группируемым (или
нет) и построить соответствующие
разбиение вершин.
Постановка:
Знаковый граф, знаковый орграф - граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый знак.
Знаковый граф сбалансирован тогда и только тогда, когда его вершины можно разбить на два класса так, что каждое ребро между двумя классами имело бы знак «минус».
Решение:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
Алгоритм решения:
-
Строим компоненты положительной достижимости.
-
Для каждой компоненты ищем отрицательное ребро, инцидентное вершинам этой компоненты.
Если есть такое ребра, следует, что граф не группируем.
Если нет такого ребра, следует, что граф группируем.
-
Переходим к новому графу, заменяя каждую, положительную компоненту на вершину. Если граф двудольный, то исходный граф сбалансирован.
Выписываем компоненты положительной достижимости:
К1={15,16,1,2,3,4,5,6}
K2={7,8,9,10,11,12,13,14}
Так как для каждой компоненты нет отрицательного ребра, инцидентного её вершинам, то граф группируем.
Переходим к новому графу, заменяя каждую компоненту на вершину.
|
|
|
Граф является двудольным, следовательно, исходный граф сбалансирован.
Построим соответствующее разбиение вершин.
