Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Кафедра вычислительных машин и комплексов

Курсовая работа (проект) защищена с оценкой руководитель

Пояснительная записка к курсовой работе (проекту)

Решение нелинейных и трансцендентных уравнений методом секущих

По дисциплине: информатика

Санкт-Петербург 2012

Оглавление

1. Задание на проектирование

2. Анализ, формальная постановка и описание метода решения

2.1 Нелинейные и трансцендентные уравнения

2.2 Локализация корней

2.3 Уточнение корней

2.4 Методы уточнения корней

2.4.1 Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)

2.4.2 Метод хорд

2.4.3 Метод Ньютона (метод касательных)

2.4.3.1 Сходимость метода Ньютона

2.4.3.2 Выбор начального приближения в методе Ньютона

2.4.4 Модифицированный метод Ньютона

2.4.5 Метод секущих

2.4.6 Метод простых итераций

3. Разработка алгоритма решения задачи

4. Реализация разработанного алгоритма

5. Тестирование разработанной программы

5.1 Ручной расчёт тестового примера

5.2 Решение тестовой задачи в MatLab

Список использованной литературы

1. Задание на проектирование

математизация программирование алгоритм локализация

Разработать алгоритм и программную реализацию заданного математического метода в виде функции на языке программирования MATLAB в среде MatLab. Разработанная функция должна быть снабжена пользовательским интерфейсом. Для недопустимых значений входных данных, при которых невозможно провести вычисления, должно отображаться сообщение об ошибке. Также необходимо провести сравнение разработанной функции со встроенными функциями используемого математического пакета (MatLab), решающими те же задачи.

Реализуется численное решение нелинейных и трансцендентных уравнений методом секущих.

2. Анализ, формальная постановка и описание метода решения

2.1 Нелинейные и трансцендентные уравнения

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

, (2.1)

где – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число , обращающее функцию в нуль, т.е. при котором , называется корнем уравнения (2.1). Если в точке наряду с функцией обращаются в ноль и ее производные до порядка включительно, то число называют корнем k-й кратности. Однократный корень также называют простым. В дальнейшем мы будем говорить именно о простых корнях.

В зависимости от вида функции нелинейные уравнения подразделяются на два класса – алгебраические и трансцендентные [1].

Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Алгебраическое уравнение всегда может быть представлено в канонической форме:

, (2.2)

где – коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения.

Если функция содержит тригонометрические, показательные, логарифмические и другие функции, не являющиеся алгебраическими, то уравнение (2.1) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений являются:

.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью [2].

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.