Кривые второго порядка

   Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

 

Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,

 

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

 

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

 

 - эллипс,

 

 - гипербола,

 

px  - парабола.

 

 

   Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек  и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c: .

 

Эллипс, заданный каноническим уравнением: 

 

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , ,  называются его вершинами.

 

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии  от центра эллипса О.

 

Число  ()

 

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при  эллипс является окружностью, а при  он вырождается в отрезок длиною ).

 

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY   и , .

 

 

   Гипербола –  геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек   и  , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:  .

 

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

 

 

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

 

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число , ()

 

называется эксцентриситетом гиперболы.

 

Прямые  называются асимптотами гиперболы.

 

Гипербола, заданная каноническим уравнением :

 ( или ),

 

называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на осиOY. Она пересекает ось ОY в точках  и  - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

 

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ().

 

  

   Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

 

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

 

Уравнение  задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

 

Парабола  имеет фокус  и директрису .

 

Парабола   имеет фокус  и директрису .

 

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.

 

Примеры решения задач.

 

   1.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что:

 

а) расстояние между фокусами 2c=30, а между вершинами 2a=20;

 

б) вещественная полуось равна 5, эксцентриситет .

 

Решение:

 

а) по условию ;      ; ; ; 

из соотношений      . Ответ: .

 

б) по условию ;        , .

 

Ответ: .

 

 

   2. Написать уравнение параболы, зная, что:

 

а) парабола проходит через точки (0,0); (3,6) и симметрична относительно оси ОХ,

 

б) парабола проходит через точки (0,0); (4,2) и симметрична относительно оси ОY.

 

Решение:

 

а) 

Точка (3,6) лежит на параболе, поэтому ,    

   - уравнение директрисы

 

 - уравнение   параболы

 

б) 

Точка (4,2) лежит на параболе, поэтому

  - уравнение директрисы,

 

 - уравнение параболы.